Có ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx = \frac{\mathrm{\pi }}{a}+\frac{\ln c}{b}$ với $a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ thì $a^2+b+c$ là:

Cho hàm số $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}x+1 khi x\ge 0\\ e^{2x} khi x\le 0\end{array}\right.$. Tích phân $I = {\int }_{-1}^{2}f\left(x\right)dx$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Cho Parapol (P): $y = x^2+1$ và đường thẳng (d): $y = mx+2$. Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) đạt giá trị nhỏ nhất?

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, đường thẳng x = a, x = b   ( như hình bên). Biết ${\int }_a^{c}f\left(x\right)dx = -2$ và ${\int }_c^{b}f\left(x\right)dx = 5$. Hỏi S bằng bao nhiêu?

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi $\frac{1}{4}$ cung tròn có bán kính R=2, đường cong $y = \sqrt{4-x}$ và trục hoành ( miền tô đậm như hình vẽ).

Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục Ox.

Biết ${\int }_3^4\frac{dx}{(x+1)(x-2)} = a\ln 2 + b\ln 5 +c$, với a,b,c là các số hữu tỉ. Tính S = a - 3b + c

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = tanx, y = 0; x = 0, $x = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$ . Khi đó thể tích V của khối tròn xoay tạo ra khi quay (H) quay quanh trục Ox bằng bao nhiêu?

Cho tích phân $I = {\int }_0^1\frac{dx}{1 + \sqrt{3x+1}}$. Biết kết quả $I = a + b\ln 2 + c\ln 3$ với $a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Q}}$ . Khi đó a-b+c bằng bao nhiêu?

Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bởi đường cong $y = f\left(x\right)$ và $y = x^2-2x$. Biết ${\int }_{\frac{-1}{2}}^{1}f\left(x\right)dx = \frac{3}{4}$

Khi đó diện tích hình phẳng được tô trên hình vẽ là

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{{\sin }^{2}x}$ và đồ thị y = F(x) đi qua điểm $M\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6};0\right)$ thì F(x) là

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x.e^x$, trục hoành, trục tung và đường thẳng x=1 thì diện tích hình (H) là:

Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bởi đường cong $y = x^2+2mx+m^2+1$, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2. Biết $m = m_0$ thì  diện tích hình phẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị $m_0$ gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=sinx, $x = \frac{\mathrm{\pi }}{2}$, hai trục tọa độ. Thể tích V của khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox là

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \sin x.\sqrt{2-\cos x}$ là

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y =x\sqrt{x^2+1}$, $x = \sqrt{3}$ và hai trục tọa độ. Đường thẳng x = k chia (H) thành hai phần có diện tích S₁, S₂ như hình vẽ bên. Để S₁ = 6S₂ thì $k = k_0$. Hỏi $k_0$ gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

Cho hình phẳng (H) giới hạn bới các đường $y = \sqrt{3x+1}$, $y = x - 1$ và $x = 1$. Diện tích S của hình phẳng (H) là