Biết ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{\left(\sin x + 2\right)\cos x}{{\sin }^{2}x+4\sin x+7}dx = a\ln \sqrt{12} + \left(b-1\right)\ln \sqrt{7}$ với a, b là các số nguyên. Tổng a+b bằng:

Cho ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 4$ Giá trị của $I = {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}f\left(\cos 2x\right).\sin x.\cos xdx$ bằng:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:$y = \sqrt{x}$, $y = x - 2$, $y = 0$

Tính nguyên hàm $I = \int \left(x-2\right)\sin 3xdx = -\frac{\left(x-2\right) \cos 3x}{a}+b\sin 3x + C$. Tính $M = a+27b$. Chọn đáp án đúng:

Nguyên hàm của hàm $I = \int \frac{1-x^5}{x\left(1+x^5\right)}dx$ có dạng $a\left[\ln \left|x^5\right|+\ln \left|1+x^5\right|\right]+C$ Khi đó $S = 10a + b$ bằng

Cho ${\int }_{-1}^{5}f\left(x\right)dx = 5$ ${\int }_4^{5}f\left(t\right)dt = -2$ và ${\int }_{-1}^{4}f\left(u\right)du = \frac{1}{3}$. Tính ${\int }_{-1}^4\left[f\left(x\right) + g\left(x\right)\right]dx$ bằng:

Cho $I = {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(2x - 1 -\sin x\right)dx$. Biết $I = \frac{{\mathrm{\pi }}^2}{a}-\frac{\mathrm{\pi }}{b}-1$

Cho các mệnh đề sau:

Các phát biểu đúng

(1) a = 2b 

(2) a + b = 5 

(3) a +3b = 10 

(4) 2a + b = 10

Một ca nô đang chạy trên hồ với vận tốc 20 m/s thì hết xăng. Từ thời điểm đó, ca nô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left(t\right) = -5t + 20 (m/s)$ trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc dừng hẳn thì ca nô đi được bao nhiêu mét?

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình elip $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ khi elip này quay xung quanh trục Ox là:

Cho tích phân: $I = {\int }_1^{e}x\ln xdx = \frac{e^2 + b}{a}$. Tính S = ab

Cho ${\int }_0^1{x}^{n}dx = \frac{1}{10}$; ${\int }_0^4\frac{dx}{2x+1}dx = \ln m$ với m, n là các số nguyên dương. Khi đó:

Cho hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-2;2] và ${\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx =4$ Tính $I = {\int }_{-2}^2\frac{f\left(x\right)}{1+2^x}dx$

Cho tích phân $I = {\int }_0^1\frac{3x+2\ln (3x+1)}{{\left(x+1\right)}^2}dx = {\int }_0^1\left(\frac{a}{3x+1}-\frac{b}{x+1}\right)dx - \frac{3}{2} + \ln 2$. Tính $A = a^2-b^4$. Chọn đáp án đúng:

Cho đường tròn (C) ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2 = 1$. Đường thẳng d có phương trình 3x-4y=0. Tính thể tích V  của hình xuyến tạo thành khi quay đường tròn (C) quanh đường thẳng d.

Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \frac{1}{x}+\sin x$

Cho ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx = 2$; ${\int }_1^{2}g\left(x\right)dx = 3$. Tính: $I = {\int }_1^2\left(x+1\right)dx + {\int }_1^{2}2f\left(x\right)dx + {\int }_1^{2}3g\left(x\right)dx$