Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên [1;4], biết f(4)=3, f(1)=1 . Tính ${\int }_1^{4}2f\text{'}\left(x\right)dx$.

Biết ${\int }_1^e\frac{\sqrt{1+3\ln x}.\ln x}{x}dx=\frac{a}{b}$; trong đó a, b là 2 số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai ?

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a;x=b (a,b)Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) và trục hoành gồm hai phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích S₁ = $\frac{8}{3}$ và phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích S₂ = $\frac{5}{12}$(tham khảo hình vẽ bên). Tính $I={\int }_{-1}^{0}f(3x+1)dx$.

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2^{3x}$ 

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=$4x^3-1$ là

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R Biết rằng ${\int }_1^{e^3}\frac{f\left(\ln x\right)}{x}dx=7, {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(\cos x\right)\sin xdx=3$.Tính tích phân  $I={\int }_1^3\left(f\right(x)+2x)dx$

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $y=3^x,y=0,x=0,x=2$. Đường thẳng x=t (0<t<2) chia (H) thành hai phần có diện tích S₁ và S₂ (như hình vẽ). Tìm t để S₁ = 3S₂

Tích phân ${\int }_1^2\frac{x\ln xdx}{{\left(x^2+1\right)}^2}dx$ = aln2 + bln3 + cln5 (với a,b,c là các số hữu tỉ). Tính tổng a+b+c 

Kí hiệu S(t) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2x+1,y=0,x=1,x=t, (t>1). Tìm t để S(t) = 10

Cho f(x), f(-x) liên tục trên R và thỏa mãn $2f\left(x\right)+3f(-x)=\frac{1}{x^2+4}$ Tính $I={\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx$. 

Cho biết ${\int }_1^3\frac{dx}{e^x-1}=a\ln (e^2+e+1)-2b$ với a, b là các số nguyên. Tính K=a+b

Cho biết ${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx=6, {\int }_1^{5}g\left(x\right)dx=8$. Tính $K={\int }_1^5\left[4f\right(x)-g(x\left)\right]dx$  

Cho F(x)=$x^4-2x^2+1$ là một nguyên hàm của hàm số $f\text{'}\left(x\right)-4x$. Hàm số $y=f\left(x\right)$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm f(x) có đạo hàm trên đoạn $[0;\mathrm{\pi }], \mathrm{f}\left(0\right)=\mathrm{\pi }, {\int }_0^{\mathrm{\pi }}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=3\mathrm{\pi }$. Tính $f\left(\mathrm{\pi }\right)$

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số $y=x^4-2x^2+1$ tiếp tuyến D của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục hoành. Quay D xung quanh trục hoành tạo thành một khối tròn xoay có thể tích V được tính theo công thức