Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích các hình phẳng (A), (B) lần lượt bằng 15 và 3. Tích phân ${\int }_{\frac{1}{e}}^1\frac{1}{x}.f(3\ln x+2)dx$ bằng

Biết ${\int }_1^2\frac{\ln x}{x^2}dx=a\ln 2+\frac{b}{c}$ (với a là số hữu tỉ, b, c là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản). Tính giá trị của $S=2a+3b+c$

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\cos 2x$ là:

Tìm họ nguyên hàm $F\left(x\right)=\int \frac{1}{{(2x+3)}^3}dx$ 

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $R\backslash \{-1;0\}$ thỏa mãn $f\left(1\right)=2\ln 2+1, x(x+1)f\text{'}\left(x\right)+(x+2)f\left(x\right)=x(x+1), \forall x\in R\backslash \{-1;0\}$ Biết $f\left(2\right)=a+b\ln 3$ với a, b là hai số hữu tỉ. Tính $T=a^2-b$ 

Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giói hạn bởi đường tròn $\left(C\right): x^2+{(y-3)}^2=1$ xung quanh trục hoành là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có $f\left(2\right)=2, f\left(3\right)=5$ hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ liên tục trên [2;3]. Khi đó ${\int }_2^{3}f\text{'}\left(x\right)dx$ bằng:

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2$ và đường tròn $x^2+y^2=2$ (phần tô đậm trong hình).

Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R, $f(-1)=-2$ và $f\left(3\right)=2$. Tính I=${\int }_{-1}^{3}f\text{'}\left(x\right)dx$.

Biết ${\int }_0^{\ln 2}\frac{1}{e^x+3e^{-x}+4}dx=\frac{1}{c}(\ln a-\ln b+\ln c)$, trong đó a,b,c là các số nguyên dương. Tính $P=2a-b+c$.

Cho hàm số $f\left(x\right)=x.\ln x$. Tính $P=f\left(x\right)-xf\text{'}\left(x\right)+x$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{2}({\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+3)$ và hai tiếp tuyến của (C) xuất phát từ M(3;-2) là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên R và $f\left(2\right)=16,{\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=4$ Tính $I={\int }_0^{4}xf\text{'}\left(\frac{x}{2}\right)dx$ 

            Bác Minh có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn là 10m và độ dài trục nhỏ là 8m Giữa vườn là một cái giếng hình tròn có bán kính 0,5m và nhận trục lớn và trục bé của đường Elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Bác Minh muốn trồng hoa hồng đỏ trên phần dải đất còn lại (xung quanh giếng). Biết kinh phí trồng hoa là 120.000 đồng/$m^2$ Hỏi Bác Minh cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên giải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn).

Cho hàm số $f\left(x\right)={\int }_1^{\sqrt{x}}(4t^3-8t)dt$. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [1;6]. Tính M-m.

Tìm nguyên hàm của các hàm số $f\left(x\right)=x^3-2x+5$ thoả mãn $F\left(1\right)=3$