Biết ${\int }_3^8\frac{dx}{x^2+x}=a\ln 2+b\ln 3$ với a, b, c là các số nguyên. Tính $S=\sqrt{a^2-b^2}$

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm là $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2x-1}$ và f(1)=1 thì f(5) có giá trị là

Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc $a\left(t\right)=t^2+3t(m/s^2)$. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 20s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu mét ?

Đổi biến số $x=\sqrt{3}\tan t$ của tích phân ${\int }_{\sqrt{3}}^3\frac{1}{x^2+3}dx$, ta được

Tính tích phân $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x\cos xdx$

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}, y=-x, x=3$. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x{e}^x$, trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = 1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=4x-x^2$ và $y=x^3-4$.

Thể tích vật thể tròn xoay được giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{1-x^2},y=0,x=0$ khi quay quanh trục Oy là:

Cho a,b là hai số dương. Gọi K là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai, giới hạn bởi parabol $y=a{x}^2$ và đường thẳng y=-bx . Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay K xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc và giá trị của a và b nếu a và b thỏa mãn điều kiện sau:

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)={\tan }^{3}x$ là:

Một vật chuyển động theo quy luật s $\left(t\right)=\frac{1}{3}{t}^3+12t^2+1$ trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động, 8 (mét) là quãng đường vật chuyển động được trong t giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t=10 (giây).

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^4-2x^3+1}{x^2}$ và F(3)=-1. Tìm F(-1) 

Giải phương trình ${\int }_0^x(6t^2-3t+2)dt=\frac{1}{2}{x}^2+2$

Cho $I={\int }_0^{{}_a^{\mathrm{\pi }}}\frac{\sin 2x}{1+{\sin }^{2}x}dx$, với giá trị nguyên nào của a thì $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{a}}\frac{\sin 2x}{1+{\sin }^{2}x}dx=\ln 2$?

Hàm số $F\left(x\right)={\log }_2(1+x^2)$ là một nguyên hàm của hàm số