Cho tích phân $I={\int }_1^2\frac{\ln x}{x^2}dx=\frac{b}{c}+a\ln 2$ với a là số thực, b và c là các số nguyên dương, đồng thời  $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức

P = 2a + 3b + c.

Cho ${\int }_1^3\frac{2x+1}{x^2+3x+x}dx=a\ln 2 +b\ln 3 + c\ln 5,$với $a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.  Giá trị của a + b + c bằng:

Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng I quanh trục Ox.

Biết ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\frac{{\cos }^{2}x+\sin x\cos x+1}{{\cos }^{4}x+\sin x{\cos }^{3}x}dx=a+b\ln 2+c\ln (1+\sqrt{3})$,

với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc bằng:

Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2^x,y=0,x=0 và x=2$. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục Ox được xác định bởi công thức:

Nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=2x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ thỏa mãn $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=-1$ là:

Biết rằng $x{e}^x$ là một nguyên hàm của hàm số f(-x) trên khoảng $\left(-\infty ,+\infty \right)$. Gọi F(x) là một nguyên hàm của $f\text{'}\left(x\right)e^x$ thỏa mãn F(0) =1, giá trị của F(-1) bằng:

Cho ${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx=2$. Tích phân ${\int }_1^3\left[2+f\left(x\right)\right]dx$  bằng

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6]. Nếu ${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx=2$ và ${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx=7$ thì ${\int }_3^{5}f\left(x\right)dx$ có giá trị bằng.

Cho hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ có đồ thị (C) . Biết rằng tiếp tuyến d của (C) tại điểm A có hoành độ bằng -1 cắt (C) tại B có hoành độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (C)  (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng:

Gọi (H) là phần in đậm trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=3x^2,y=4-x$ và trục hoành. Diện tích của (H) bằng:

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=\sin (\mathrm{\pi }-2\mathrm{x})$ thỏa mãn $F\left(\frac{x}{2}\right)=1$

Cho ${\int }_1^2(x+1)e^{x}dx=a{e}^2+be+c$ với a,b,c là các số nguyên. Tính a + b + c. 

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên $\left(0;+\infty \right)$ sao cho $x^2+x.f\left(e^x\right)+f\left(e^x\right)=1$ với mọi $x\in \left(0;+\infty \right)$ Tính tích phân $I={\int }_{\sqrt{e}}^e\frac{\ln x.f\left(x\right)}{x}dx.$ 

Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -2t + 10 (m/s) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng

Cho ${\int }_0^{4}f\left(x\right)dx=16$. Tính tích phân $I={\int }_0^{2}f\left(2x\right)dx$.