Cho hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt nằm trên các cạnh $A\text{'}B\text{'}$ và  sao cho $MA\text{'}=MB\text{'}$và $NB=2NC$. Mặt phẳng $\left(DMN\right)$ chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi $V_{\left(H\right)}$là thể tích khối đa diện chứa đỉnh $A$, $V_{\left(H\text{'}\right)}$ là thể tích khối đa diện còn lại. Tỉ số $\frac{V_{\left(H\right)}}{V_{\left(H\text{'}\right)}}$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a, góc $\widehat{BAD}={60}^o$, SAB  là tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) là 

Hình chóp tam giác có số cạnh là:

Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng 2.

Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x, các cạnh còn lại đều bằng . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất

Cho hình chóp S.ABC có BC = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng ${60}^o$ Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC). Biết rằng tam giác HBC vuông cân tại H  và thể tích khối chóp S.ABC  bằng $a^3$ Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, $SA\perp \left(ABCD\right)$, $SA=\sqrt{3}AB$ . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD), giá trị cosα bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy là hình thoi tâm O, cạnh bằng $a\sqrt{3}$; $\widehat{BAD}={60}^o$; SA vuông góc với mặt phẳng  đáy, góc giữa đường thẳng SC và $\left(ABCD\right)$ bằng ${45}^o$ . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OG và AD bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, $SA\perp \left(ABCD\right)$, $AD=2BC=2AB$ . Trong tất cả các tam giác mà 3 đỉnh lấy từ 5 điểm S, A, B, C, D có bao nhiêu tam giác vuông?

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng $a^3\sqrt{3}$. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a, thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy, biết đáy ABCD là hình bình hành. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD.

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2 và hai điểm C, D thay đổi trên nửa đường tròn đó sao cho ABCD là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng

Cho tứ diện ABCD. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó, tỷ số thể tích của khối đa diện AB’C’D và khối đa diện ABCD bằng

Cho khối chóp S.ABC có $SA\perp \left(ABC\right)$, tam giác ABC vuông cân tại B, SA = AB = 6. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a$; $AB=a\sqrt{3}$; $\widehat{BAC}={150}^o$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng  đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCMN$ bằng.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy và SB = $a\sqrt{3}$. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, gọi $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABC). Tính $\tan \phi$