Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật $AB=\sqrt{2}a,AD=2a$, SA vuông góc với đáy và $SA=\sqrt{2}a$. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và AD (tham khảo hình vẽ). Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC)?

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa hai mặt bên (SAD) và (SBC) bằng ${60}^o$. Gọi M là trung điểm của cạnh SA (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng $\left(BCM\right)$ và (ABCD) bằng

Tập nghiệm S của bất phương trình ${\log }_3\left(5-x\right)<1$ là

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-2;4] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-2;4]. Giá trị của M + m bằng

Giả sử $z_1,z_2$ là hai trong số các số phức z thỏa mãn $\left(z+i\right)\left(\overline{z}+3i\right)$ là số thuần ảo. Biết rằng $\left|z_1-z_2\right|=3$, giá trị lớn nhất của $\left|z_1+2z_2\right|$ bằng

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có A'B=4a. Gọi M là trung điểm của cạnh $BB\text{'}vàCM=a\sqrt{2}$. Biết khoảng cách giữa A'B và CM bằng a và góc tạo bởi hai đường thẳng A'B và CM là ${30}^o$(tham khảo hình bên), thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

Cho hàm số $y=2x^3-\left(m+3\right)x^2-2\left(m-6\right)x+2019$. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số trên có hai điểm cực trị đều thuộc đoạn [0;3]?

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ bên.

Số nghiệm thực của phương trình $2f\left(x^2-1\right)-5=0$

Gọi S là tập hợp các số có bốn chữ số được lập nên từ các số 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. Rút ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số đực rút là số chẵn có dạng $\overline{abcd}$ thỏa mãn $a\le b<c\le d$.

Đặt ${\log }_{2}3=a$. Khi đó ${\log }_{12}18$ bằng

Với a và b là sai số thực dương tùy ý, $\ln \left(\frac{a^2}{b}\right)$ bằng

Cho khối đa diện đều loại $\left\{3;4\right\}$ có độ dài cạnh bằng $a\sqrt{6}$. Thể tich khối cầu ngoại tiếp khối đa diện đều đã cho bằng

Hàm số $f\left(x\right)=2^{x^2-2x}$ có đạo hàm

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và $OA=4,OB=OC=8$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC bằng

Tập nghiệm của phương trình ${\log }_2^2\left(x^2\right)-4{\log }_2\left(2x\right)+4=0$ là:

Cho hình chữ nhật ABCD và hình thang cân ABEF nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Biết AB=a, $BC=BE=a\sqrt{2}$, AB//EF và $EF=3a$(tham khảo hình vẽ), thể tích khối đa diện ABCDEF bằng