Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \[a\]. Góc giữa \(CA'\) và mặt \((AA'B'B)\) bằng \(30^\circ \). Gọi \[I\] là trung điểm \[AB\]. Tính khoảng cách giữa \[A'I\] và \[AC\]
A. \(\frac{{a\sqrt {210} }}{{70}}\).
B. \(\frac{{2a\sqrt {210} }}{{35}}\).
C. \(\frac{{3a\sqrt {210} }}{{35}}\).
D. \(\frac{{a\sqrt {210} }}{{35}}\).
Giải bởi Vietjack
Chọn đáp án D
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}CI \bot AB\\CI \bot AA'\,\,\,\,\left( {AA' \bot (ABC)} \right)\\{\rm{ }}AB \cap AA' = \{ A\} \\AB,\,AA' \subset \left( {AA'B'A} \right)\quad \end{array} \right.\]\( \Rightarrow CI \bot \left( {AA'B'B} \right)\).
Dễ thấy \[\left( {\widehat {CA';\left( {AA'B'B} \right)}} \right) = \left( {\widehat {CA';IA'}} \right) = \widehat {CA'I} = 30^\circ \].
Do đó \(A'I = \frac{{IC}}{{\tan \widehat {CA'}I}} = \frac{{3a}}{2};\) với \(IC = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra\(AA' = \sqrt {A'{I^2} - A{I^2}} = \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4}} = a\sqrt 2 \).
Kẻ \(Ix\parallel AC\). Khi đó \(d(AC,A'I) = d(AC,(A'I,Ix)) = d(A,(A'I,Ix))\)
Kẻ \(AE \bot Ix\) tại \[E\] và \(AF \bot A'E\) tại \[F\].
\[\left\{ \begin{array}{l}EI \bot AE\\EI \bot AA'\,\,\left( {AA' \bot \left( {AEI} \right)} \right)\\AE,\,AA' \subset \left( {A'AE} \right)\\AE \cap AA' = \left\{ A \right\}\end{array} \right. \Rightarrow EI \bot \left( {A'AE} \right) \Rightarrow EI \bot AF\]
Vì\[\left\{ \begin{array}{l}AF \bot A'E\\AF \bot EI\\A'E,EI \subset \left( {A'EI} \right)\\A'E \cap EI = \left\{ E \right\}\end{array} \right. \Rightarrow AF \bot \left( {A'EI} \right)\].
Do đó \(d\left( {A,(A'I,Ix)} \right) = AF\).
Ta có: \(AE = AI.\sin \widehat {AIE} = \frac{a}{2}.\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\) và \(\frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{{16}}{{3{a^2}}} = \frac{{35}}{{6{a^2}}} \Rightarrow AF = \frac{{a\sqrt {210} }}{{35}}\)
Vậy: \(d\left( {AC,A'I} \right) = AF = \frac{{a\sqrt {210} }}{{35}}\).
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}\left( {x - 1} \right)\) là
Trong mặt phẳng cho 40 điểm tạo thành đa giác đều. Lấy ngẫu nhiên 4 điểm, tính xác suất sao cho 4 điểm này tạo thành hình chữ nhật mà không phải là hình vuông.
Lớp 12A có 18 học sinh nữ và 17 học sinh nam. Giáo viên Chọn đáp án 1 học sinh trong lớp làm tình nguyện viên tham gia phong trào thanh niên của nhà trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Thể tích khối chóp có đường cao bằng \(a\) và diện tích đáy bằng \(2{a^2}\sqrt 3 \) là
Cho cấp số nhân
\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = \,3\) và \({u_2} = 12\). Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
Cho tứ diện đều \(ABCD\) .Cosin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {DBC} \right)\) bằng
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = - 9{x^3} + 9\left( {m + 1} \right){x^2} - 3\left( {2m + 5} \right)x + \frac{{22}}{7}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Tìm số phần tử của tập \(S\).
Cho hình trụ có chiều cao \[8a\]. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng \[2a\] thì thiết diện thu được là một hình chữ nhật có diện tích bằng \[48{a^2}\]. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
Cho \[a\] và \[b\] là hai số thực dương, biết rằng \[{\log _3}\left( {ab} \right) = {\log _{81}}\left( {\frac{b}{a}} \right)\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Cho phương trình \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{3{x^2} - 3mx + 4}} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^{2{x^2} - mx + 3m}} = - {x^2} + 2mx + 3m - 4\,(1)\). S là tập hợp tất cả các giá trị \(m\)nguyên thuộc khoảng \(\left( {0;2020} \right)\)sao cho phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Số phần tử của \(S\)là
Cho hai số phức \({z_1} = 1 - 2i\) và \({z_2} = 5 + i\). Điểm biểu diễn của số phức \({z_1} - {z_2}\) là
Cho khối chóp có diện tích đáy \(B = 8\) và chiều cao \(h = 3\). Thể tích khối chóp đã cho bằng
