Cho hai số thực \[a,{\rm{ }}b\] thỏa mãn \[a >b >\frac{4}{3}\] và \[16{\log _a}\left( {\frac{{{a^3}}}{{12b - 16}}} \right) + 3\log _{\frac{a}{b}}^2a\] đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \[a + b.\]
A.\[\frac{7}{2}.\]
B.\[4.\]
C.\[\frac{{11}}{2}\]
D.\[6.\]
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Chọn đáp án D
Ta có \({b^3} + 16 = {b^3} + 8 + 8 \ge 3\sqrt[3]{{64{b^3}}} = 12b \Rightarrow 12b - 16 \le {b^3}\)
\( \Rightarrow P = 16.3 - 16{\log _a}\left( {12b - 16} \right) + \frac{3}{{{{\left( {{{\log }_a}\frac{a}{b}} \right)}^2}}} \ge 48 - 16{\log _a}{b^3} + \frac{3}{{{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right)}^2}}}\)
\( \Rightarrow P \ge 48 - 48{\log _a}b + \frac{3}{{{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right)}^2}}} = 48\left( {1 - {{\log }_a}b} \right) + \frac{3}{{{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right)}^2}}}\)
Đặt \(t = 1 - {\log _a}b >0 \Rightarrow P \ge 48t + \frac{3}{{{t^2}}} = 24t + 24t + \frac{3}{{{t^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{24t.24t.\frac{3}{{{t^2}}}}} = 36\).
Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\24t = \frac{3}{{{t^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\b = \sqrt a \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 4\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 6\).
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hàm số bậc bốn \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \[f\left( {\left| {2020x + m} \right|} \right) = 6m + 12\] có đúng 4 nghiệm thực phân biệt. Tính tổng tất cả các phần tử của S.
Trong không gian Oxyz,cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 4y + 3z - 2 = 0.\] Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\mathbb{R}.\] Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right),{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = - 3\] và \[x = 0\] (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và \[\widehat {BAC} = 60^\circ .\] Cạnh \[SC = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\] và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SA\] và \[BD\] bằng
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \[y = 2{x^2} - 1\] và nửa đường tròn có phương trình \[y = \sqrt {2 - {x^2}} \] (với \[ - \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 \]) (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - 3y + 4z - 1 = 0.\] Xét mặt phẳng \[\left( Q \right):\left( {2 - m} \right)x + \left( {2m - 1} \right)y + 12z - 2 = 0,\] với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị thực của m để mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P).
Cho hàm \[y = f\left( x \right) = {x^4} - 6{x^3} + 12{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + 3m + 2\], với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\] có đúng 7 điểm cực trị?
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên A có 4 chữ số. Gọi N là số thỏa mãn \[{3^N} = A.\] Xác suất để N là số tự nhiên bằng
Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 2. Một mặt phẳng (P) cắt hình trụ (T) theo thiết diện là hình chữ nhật ABCD có các cạnh \[AB,{\rm{ }}CD\] lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy. Biết cạnh \[AB = AD = 2\sqrt 5 ,\] tính thể tích của khối trụ đã cho.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Trong không gian Oxyz,cho điểm \[A\left( {2; - 1; - 2} \right)\] và đường thẳng d có phương trình \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\]. Mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\] và đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\] như hình vẽ. Bất phương trình \[f\left( x \right) \le {3^x} - 2x + m\] có nghiệm với mọi \[x \in \left( { - \infty ;1} \right]\] khi và chỉ khi
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \cos 3x\] là
