Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB = 2a,AD = 3a.$ Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của CD, tính khoảng cách giữa BE và SA

Cho đường thẳng $y = 4 - x$ và Parabol $y = a\left( {4x - {x^2}} \right)$ (a là tham số thực dương). Gọi ${S_1}$ và ${S_2}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi ${S_1} = {S_2}$ thì a thuộc khoảng nào sau đây

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điều kiện cần và đủ để phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + {m^2} - 9m + 4 = 0$ là phương trình mặt cầu.

Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau.

Cho biểu thức $P = \sqrt[3]{{x.\sqrt[4]{{{x^3}\sqrt x }}}},$ với $x > 0.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Giả sử ${z_1},{z_2}$ là hai trong các số phức z thỏa mãn $\left( {z - 6} \right)\left( {8 + \overline {zi} } \right)$ là số thực. Biết rằng $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 4.$ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w = {z_1} + {z_2}$ là một đường tròn có bán kính bằng

Một mảnh giấy hình quạt như hình vẽ có bán kính $AB = AC = 8\,\,cm.$ Người ta dán mép AB và AC lại với nhau để được một hình nón đỉnh A. Biết độ dài cung BC bằng $8\pi \sqrt 3 \,\,cm,$ tính thể tích V của khối nón thu được (xem phần giấy dán không đáng kể) 

Cho khối nón có bán kính đáy $r = \sqrt 3$ và chiều cao $h = 4.$ Tính thể tích V của khối nón đã cho

Cho số phức z thỏa mãn $4\left( {\overline z - i} \right) - \left( {3 - i} \right)z = - 1 - 29i.$ Mô đun của z bằng

Cho phương trình $\log _2^2x - 2{\log _2}x - \sqrt {m + {{\log }_2}x} = m.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ { - 20;20} \right]$ để phương trình đã cho có nghiệm $x \in \left( {0;1} \right).$

Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ được cho như hình vẽ bên. Hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + \frac{1}{2}{x^2} - f\left( 0 \right)} \right|$ có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị trong khoảng $\left( { - 2;3} \right)$?

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ cùng vuông góc với đáy. Biết rằng $\left( {SBC} \right)$ tạo với đáy một góc $45^\circ .$ Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp là:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ được cho như hình vẽ bên. Hàm số $y = f\left( {\cos x} \right) + {x^2} - x$ đồng biến trên khoảng

Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}};{\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{1}.$ Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với d đồng thời cắt ${\Delta _1},{\Delta _2}$ tương ứng tại H, K sao cho độ dài HK nhỏ nhất. Biết rằng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {h;k;1} \right).$ Giá trị của $h - k$ bằng