Đáp án B

Đường thẳng EF có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {EF} = \left( {3;1; - 7} \right) \Rightarrow \left( {EF} \right):\frac{{x + 1}}{3} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 7}}.\)

Đáp án B

Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - 2;0} \right),\left( {2; + \infty } \right)\).

Đáp án A

Biến đổi về \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - 4x}} \le {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2 - x}} \Rightarrow - 4x \le 2 - x \Rightarrow x \ge - \frac{2}{3}.\)

Đáp án D

Ta có \({u_4} = {u_1}.{q^3} \Rightarrow \frac{1}{3} = - 9.{q^3} \Rightarrow {q^3} = - \frac{1}{{27}} \Rightarrow q = - \frac{1}{3}.\)

Đáp án C

ĐTHS có tiệm cận đứng \(x = 1 \Rightarrow \) Loại B

ĐTHS có tiệm cận ngang \(y = - 1 \Rightarrow \) Loại D

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định \( \Rightarrow \) Loại A vì có \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)

Đáp án D

Góc giữa 2 véc tơ tính theo công thức \(\cos \alpha = \frac{{ - 3.5 + 4.0 + 0.12}}{{\sqrt {25} .\sqrt {169} }} = \frac{{ - 15}}{{\sqrt {25} .\sqrt {169} }} = - \frac{3}{{13}}.\)

Đáp án D

Tính thể tích V của khối nón đã cho là \(V = \frac{1}{3}.\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .3.4 = 4\pi .\)

Đáp án D

Số cách chọn 1 chiếc đồng hồ gồm 1 mặt và 1 dây là \(3.4 = 12\) cách.

Đáp án C

Véc tơ đã cho là véc tơ pháp tuyến nên ta có \(x - 3 - \left( {y + 1} \right) + 2\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 2z - 12 = 0\)

Đáp án C

\(\sqrt[3]{{x\sqrt[4]{{{x^{3 + \frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{x.{x^{\frac{7}{8}}}}} = \sqrt[3]{{{x^{\frac{{15}}{8}}}}} = {x^{\frac{5}{8}}}.\)

Đáp án D

Ta có \(I = F\left( b \right) - F\left( a \right) = - \frac{7}{2}.\)

Đáp án D

Gọi O là tâm hình vuông đáy thì \(OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

Tam giác SOA vuông cân tại O nên SA tạo với đáy 45 độ.

Đáp án D

Ta có \(z = \left( { - 1 + 2i} \right) + 2\left( {4 - i} \right) = 7 \Rightarrow D\left( {7;0} \right).\)

Đáp án B

Hàm số đã cho có giá trị cực đại bằng 3.

Đáp án A

\(\int {{3^{ - x}}dx} = - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C.\)

Đáp án D

Ta có \(\left| {2f\left( x \right) + 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2f\left( x \right) + 1 = 1\\2f\left( x \right) + 1 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = - 1\end{array} \right.\)

Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có đúng 4 nghiệm phân biệt.

Phương trình \(f\left( x \right) = - 1\) có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Các nghiệm trên không trùng nhau.

Vậy phương trình \(\left| {2f\left( x \right) + 1} \right| = 1\) có đúng \(4 + 2 = 6\) nghiệm phân biệt.

Đáp án B

Gọi M là trung điểm của \(BC,\,AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},BC \bot \left( {A'AM} \right)\).

Kẻ \(AH \bot A'M,\) suy ra \(AH \bot \left( {A'BC} \right)\) và \(AH = d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)\)

Xét tam giác \(A'AM\) vuông tại A, ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\)

Vậy \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\)

Đáp án A

Ta có \(\left( {x + 2} \right) + \left( {2y - x} \right)i = 1 + 5i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 1\\2y - x = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt 5 .\)

Đáp án B

Ta có \(y' = \frac{{2x - 3}}{{{x^2} - 3x}}.\)

Đáp án D

\(y' = 6{x^2} + 6x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = 1;x = - 2.\) So sánh \(f\left( 1 \right) = 5;f\left( 2 \right) = 6;f\left( { - 1} \right) = 15 \Rightarrow \max y = 15.\)

Đáp án D

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 2\\c = 3\\d = {m^2} - 9m + 4\end{array} \right.\)

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {3^2} - {m^2} + 9m - 4 > 0 \Leftrightarrow - {m^2} + 9m + 10 \Leftrightarrow - 1 < m < 10\)

Đáp án A

Góc giữa \(A'C\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {A'CA}\). Tam giác \(A'CA\) vuông cân tại A.

Vậy \(AA' = a,\) diện tích tam giác đều phải ghi nhớ; \(V = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)

Đáp án D

Số điểm cực trị chính là số nghiệm đơn, đảm bảo đổi dấu qua nghiệm.

Viết lại \(y = {x^4}\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - \sqrt 2 } \right) \Rightarrow x = - 2;x = \pm \sqrt[4]{2},\) 3 nghiệm đơn.

Đáp án A

Ta có: \(P = {\log _c}\left( {ab} \right) = {\log _c}a + {\log _c}b = \frac{1}{{{{\log }_a}c}} + \frac{1}{{{{\log }_b}c}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}.\)

Đáp án A

Trực tiếp lấy modul hai vế có \(\left| {{{\left( {1 - \sqrt 3 i} \right)}^2}} \right|.\left| z \right| = \left| {3 - 4i} \right| \Rightarrow \left| z \right| = \frac{5}{4}.\)

Đáp án C

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x \ne 5\end{array} \right.,Pt \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left| {x - 5} \right| = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x - 18 = 0\\{x^2} - 3x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\left( L \right)\\x = 6\\x = \frac{{3 \pm \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Đáp án B

Độ dài cung BC chính là chu vi đường tròn đáy \( \Rightarrow 8\pi \sqrt 3 = 2R\pi \Rightarrow R = 4\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {R^2}} = \sqrt {A{B^2} - {R^2}} = 4 \Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = 64\pi .\)

Đáp án B

ĐTHS có tiệm cận đứng \(x = - 2.\)

Từ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = 2 \Rightarrow \) ĐTHS có tiệm cận ngang \(y = 2.\)

Đáp án D

Ta có

\(S = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} { - f\left( x \right)} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 { - f\left( x \right)dx} \)

Mà \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \Rightarrow S = - 2\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} .\)

Đáp án A

Mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến là tích có hướng của mặt phẳng đã cho.

Ta có \(\left[ {\left( {1; - 3;2} \right),\left( {1;0; - 1} \right)} \right] = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow x + y + z + m = 0.\)

Thay thế điểm \(\left( {3;0;0} \right)\) thuộc mặt phẳng cần tìm có \(m = - 3.\)

Đáp án A

Ta có \[\int {\left( {2x + x\sin 3x} \right)dx} = \int {2xdx} + \int {x\sin 3xdx} = {x^2} + C - \frac{1}{3}\int {xd\left( {\cos 3x} \right)} \]

\( = {x^2} + C - \frac{1}{3}x\cos 3x + \frac{1}{3}\int {\cos 3xdx} = {x^2} - \frac{1}{3}x\cos 3x + \frac{1}{9}\sin 3x + C.\)

Đáp án B

Xét \(I = \int {\left( {x + 4} \right)\sqrt {x + 1} dx} ,\) đặt \(t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx.\) Khi đó:

\(I = \int {\left( {{t^2} + 3} \right)t2tdx} = \int {\left( {2{t^4} + 6{t^2}} \right)} dx = \frac{{2{t^5}}}{5} + 2{t^3} + C = \frac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{5}{2}}}}}{5} + 2{\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{2}}} + C\)

Suy ra \(f\left( x \right) = \frac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{5}{2}}}}}{5} + 2{\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{2}}} + C.\) Thay \(x = 0:\)

\(f\left( 0 \right) = \frac{2}{5} + 2 + C \Rightarrow C = - \frac{2}{5}.\) Do đó \(f\left( x \right) = \frac{2}{5}{\left( {x + } \right)^{\frac{5}{2}}} + 2{\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{5}.\)

Khi đó

\(\int_0^3 {\left( {\frac{2}{5}{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{5}{2}}} + 2{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{5}} \right)} dx = \left( {\frac{4}{{35}}{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{7}{2}}} + \frac{4}{5}{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{5}{2}}} - \frac{2}{5}x} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle3\atop\scriptstyle}} \right. = \)

Đáp án A

Gọi \(\Delta \) là đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1; - 1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {1;0;1} \right).\)

Suy ra \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 1; - 2;1} \right)\)

Gọi \(A\left( {2 + t;1 - t;2 - t} \right) \in {d_1}\) và \(B\left( {u;3; - 2 + u} \right) \in {d_2}\) suy ra \(\overrightarrow {AB} \left( {u - t - 2;2 + t;u + t - 4} \right)\)

Giải: \(\overrightarrow {AB}  = k.\overrightarrow {{u_\Delta }} = k\left( { - 1; - 2;1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u - t - 2 = - k\\2 + t = - 2k\\u + t - 4 = k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3\\t = 0\\k = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {2;1;2} \right)\\B\left( {3;3;1} \right)\end{array} \right..\)

Phương trình đường thẳng AB là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right..\)

Đáp án D

Giả sử \(z = x + yi\left( {x,y \in } \right) \Rightarrow 4\left( {x - yi - i} \right) - \left( {3 - i} \right)\left( {x + yi} \right) = - 1 - 29i\)

\( \Leftrightarrow 4x - 4yi - 4i - \left[ {3x + y + \left( {3y - x} \right)i} \right] = 1 - 29i\)

\( \Leftrightarrow x - y - \left( {7y - x + 4} \right)i = - 1 - 29i\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = - 1\\7y - x + 4 = 29\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 5.\)

Đáp án D

Chú ý hàm số gốc nghịch biến trên \(\left( { - 1;1} \right).\)

Đạo hàm hàm số hợp \(y' = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \le 0.\)

\(x > 1 \Rightarrow f'\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \le 0 \Rightarrow - 1 < {x^2} - 2x + 1 \Rightarrow 0 < x < 2\) \(x < 1 \Rightarrow f'\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 > 1\\{x^2} - 2x + 1 < - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right. \Rightarrow x < 0\)

Như vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;2} \right).\)

Đáp án B

Ta có \(m < f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} = g\left( x \right),\forall x \in \left( {0;3} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + {x^2} - 2x.\)

Trên \(\left( {0;3} \right) \Rightarrow 1 < f'\left( x \right) \le 3 \Rightarrow f'\left( x \right) > 1 \Rightarrow g'\left( x \right) > 1 + {x^2} - 2x = {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;3} \right) \Rightarrow g\left( x \right) \ge g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) \Rightarrow m \le f\left( 0 \right).\)

Đáp án A

Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 12 đội thành 3 bảng.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^4.C_8^4.C_4^4.\)

Gọi X là biến cố “3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau”

Bước 1. Xếp 3 đội Việt Nam ở 3 bảng khác nhau nên có \(3!\) cách.

Bước 2. Xếp 6 đội còn lại vào 3 bảng A, B, C này có \(C_9^3.C_6^3.C_3^3\) cách.

Suy ra số phần tử của biến cố X là \(n\left( X \right) = 3!.C_9^3.C_6^3.C_3^3.\)

Vậy xác suất cần tính là \(P = \frac{{n\left( X \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{3!.C_9^3.C_6^3.C_3^3}}{{C_{12}^4.C_8^4.C_4^4}} = \frac{{16}}{{55}}.\)

Đáp án A

Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) cùng vuông góc với đáy nên giao tuyến \(SA \bot \left( {ABCD} \right).\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SBA} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SBA}\)

\( \Rightarrow \widehat {SBA} = 45^\circ \Rightarrow SA = AB = a.\)

Đáy ABCD là hình vuông nên: \({R_d} = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow {R_{S.ABCD}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2} + R_d^2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Đáp án B

Áp dụng công thức nhanh \(\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{{c^2}}} + \frac{{{k^2}}}{{{h^2}}}\) trong đó \(h = SH = a\sqrt 3 ,c = d\left( {A;BE} \right)\)

Suy ra \(\frac{1}{{{c^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}}\) và \(k = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{1}{2}\)

Thay vào công thức ta được \(d = \frac{{6a\sqrt {13} }}{{13}}.\)

Đáp án A

Đáp án C

Điều kiện: \(x > 0\)

Ta có: \({\log _3}^2\left( {3x} \right) - \left( {m + 2} \right){\log _3}x + m - 2 = 0 \Leftrightarrow {\log _3}^2x - m{\log _3}x + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_3}x = 1}\\{{{\log }_3}x = m - 1}\end{array}} \right.\)

Phương trình: \({\log _3}x = 1 \Leftrightarrow x = 3 \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]\)

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ {\frac{1}{3};3} \right]\) thì phương trình:

\({\log _3}x = m - 1\) có 1 nghiệm thuộc \(\left[ {\frac{1}{3};3} \right).\)

\( \Rightarrow {\log _3}\frac{1}{3} \le {\log _3}x = m - 1 < {\log _3}3 \Leftrightarrow  - 1 \le m - 1 < 1 \Leftrightarrow 0 \le m < 2 \Rightarrow m \in \left[ {0;2} \right)\)

Đáp án A

\(H \in {\Delta _1} \Rightarrow H\left( {2t + 3;t;1 + t} \right);K \in {\Delta _2} \Rightarrow K\left( {1 + s;2 + 2s;s} \right) \Rightarrow \overrightarrow {HK} = \left( {s - 2t - 2;2s - t;s - t - 1} \right)\)

\(\Delta \bot d \Rightarrow \overrightarrow {HK} \bot \overrightarrow {{u_d}} \Rightarrow s - t + 2 = 0 \Leftrightarrow s = t - 2 \Rightarrow H{K^2} = 2{\left( {t + 1} \right)^2} + 27 \ge 27\)

\(t = - 1 \Rightarrow \overrightarrow {HK} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right) = - 3\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow h - k = 0\)

Đáp án A

Dựa theo đồ thị và kết hợp \( - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow - 1 \le f'\left( {\cos x} \right) \le 1 \Rightarrow \left| { - \sin x.f'\left( {\cos x} \right)} \right| \le 1\)

Khi đó \(g'\left( x \right) = - \sin x.f'\left( {\cos x} \right) + 2x - 1 \ge - 1 + 2x - 1 = 2x - 2 > 0,\forall x > 1.\)

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {1;2} \right).\)

Đáp án A

Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) ta có: \(\left( {z - 6} \right)\left( {8 + \overline {zi} } \right) = \left( {x + yi - 6} \right)\left( {8 + \overline {\left( {xi - y} \right)} } \right)\)

\( = \left( {x + yi - 6} \right)\left( {8 - y - xi} \right) = \left[ {\left( {x - 6} \right) + yi} \right]\left[ {\left( {8 - y} \right) - xi} \right]\) là số thực khi phần ảo của nó là \(\left( {x - 6} \right).\left( { - x} \right) + y\left( {8 - y} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x - 8y = 0\) \(\left( C \right)\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {3;4} \right)\) bán kính \(R = 5.\)

Gọi A, B là các điểm biểu diễn số phức \({z_1},{z_2}\) thì \(AB = 4,\) trung điểm H của AB biểu diễn số phức \(\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2} = \frac{w}{2}\)

Ta có: \(IH = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {21} \Rightarrow \left| {\frac{w}{2} - \left( {3 + 4i} \right)} \right| = \sqrt {21} \Leftrightarrow \left| {w - \left( {6 + 8i} \right)} \right| = 2\sqrt {21} \)

Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: \(4 - x = ax\left( {4 - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = \frac{1}{a}\end{array} \right.\)

Để \({S_1} = {S_2}\) thì \(\int\limits_0^4 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = 0.} \)

Ta có: \(\int\limits_0^4 {\left[ {4 - x - a\left( {4x - {x^2}} \right)} \right]} dx = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^4 {\left( {4 - x} \right)dx} = a\int\limits_0^4 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} \Leftrightarrow a = \frac{3}{4}.\)

Dễ thấy \(AP,BQ,CC'\) đồng quy nên đa diện lồi \(ABCPQC'\) là khối chóp cụt.

Đặt \[{{\rm{S}}_{ABC}} = S\], chiều cao lăng trụ là h thì \[{S_{C'PQ}} = 4S\] ta có \(Sh = 1\) và thể tích chóp cụt \(ABCPQC'\) là:

\({V_{ABCPQC'}} = \frac{1}{3}\left( {S + \sqrt {S.4S} + 4S} \right).h\)

Đáp án A

Vì \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng với \(\overrightarrow a \Rightarrow \overrightarrow {MN} = k\overrightarrow a ,\) lại có \(MN = 5\sqrt 2 \Rightarrow t = 5 \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {5; - 5;0} \right).\)

Điểm \(C\left( {m;n;p} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {MN} \Rightarrow C\left( {1;2;3} \right).\)

Hai điểm C, B nằm cùng phía so với mặt \(\left( {Oxy} \right)\) do đều có cao độ dương, và CB không song song với \(\left( {Oxy} \right)\) do cao độ khác nhau, CB cắt \(\left( {Oxy} \right)\) tại một điểm cố định.

Do \(AM = CN\) nên \(\left| {AM - BN} \right| = \left| {CN - BN} \right| \le CB\).

Dấu đẳng thức có khi N là giao điểm của đường thẳng CB và \(\left( {Oxy} \right).\)

Kết luận \({\left| {AM - BN} \right|_{\max }} = BC = \sqrt {17} .\)

Đáp án D

Xét hàm số: \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{2}{x^2} - f\left( 0 \right).\)

Ta có \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) + x;h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = - x\)

Nghiệm phương trình là hoành độ giao điểm của hai đồ thị \(y = - x\) và \(y = f'\left( x \right)\)

Dựa vào đồ thị suy ra phương trình: \(f'\left( x \right) = - x\) có ba nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Trên khoảng \(\left( { - 2;3} \right)\), hàm số \(h\left( x \right)\) có một điểm cực trị là\(x = 2,\) (do qua nghiệm \(x = 0,h'\left( x \right)\) không đổi dấu). Do đó đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) cắt trục hoành tối đa 2 điểm.

Suy ra hàm số \(y = \left| {h\left( x \right)} \right|\) có tối đa \(2 + 1 = 3\) điểm cực trị trong khoảng \(\left( { - 2;3} \right).\)

Đáp án D

Phương trình \( \Leftrightarrow \log _2^2x - {\log _2}x = m + {\log _2}x + \sqrt {m + {{\log }_2}x} \left( * \right)\)

Với điều kiện \(x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow - {\log _2}x > 0\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t\left( {t > 0} \right)\) là hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Do đó phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( { - {{\log }_2}x} \right) = f\left( {\sqrt {m + {{\log }_2}x} } \right) \Leftrightarrow - {\log _2}x = \sqrt {m + {{\log }_2}x} \)

\( \Leftrightarrow m = \log _2^2x - {\log _2}x = {u^2} + u = f\left( u \right)\) (với \(u = - {\log _2}x\) và \(u > 0\))

Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} f\left( u \right) = 0,\mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } f\left( u \right) = + \infty \) nên phương trình có nghiệm khi \(m > 0.\)

Kết hợp \(m \in \mathbb{Z},m \in \left[ { - 20;20} \right]\) suy ra có 20 giá trị của tham số m.