Xét hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(4x.f\left( {{x^2}} \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Tính \[I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \].
Giải bởi Vietjack
Đáp án C
Ta có \[\int\limits_0^1 {4x.f\left( {{x^2}} \right)dx} + \int\limits_0^1 {3f\left( {1 - x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \]
\[\int\limits_0^1 {4x.f\left( {{x^2}} \right)dx} = 2\int\limits_0^1 {f\left( {{x^2}} \right)d\left( {{x^2}} \right) = 2\int\limits_0^1 {f\left( u \right)du} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} } \].
\[\int\limits_0^1 {3f\left( {1 - x} \right)dx} = 3\int\limits_0^1 {f\left( v \right)f\left( {1 - v} \right)} = 3\int\limits_0^1 {f\left( v \right)dv} = 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \].
Do đó \[5\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}d\left( {{x^2} + 1} \right)} = \left. {\frac{1}{2}.2\sqrt {{x^2} + 1} } \right|_0^1 = \sqrt {2 - 1} \]
\[ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{5}\].
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 3 \right) = - \frac{{25}}{3}\) và \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {x + 1} - 1}}\). Khi đó \(\int\limits_3^8 {f\left( x \right)dx} \) bằng
Với a là số thực dương tùy ý, \(\ln \left( {8a} \right) - \ln \left( {3a} \right)\) bằng
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 6x + 8} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm \[A\left( {1; - 1;3} \right)\] và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\), \({d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng \[{d_1}\] và cắt đường thẳng \[{d_2}\].
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2;0;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0;4;0} \right),{\rm{ }}C\left( {0;0;6} \right)\). Điểm M thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và N là điểm trên tia \(OM.ON = 12\). Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng 2. Kí hiệu \(\left( H \right)\) là khối đa điện có các đỉnh là trung điểm tất cả các cạnh của hình chóp đã cho. Tính thể tích của \(\left( H \right)\).
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 1 - i} \right| = 2\). Biết rằng giá trị nhỏ nhất của \({\left| {z + 3 + i} \right|^2} + {\left| {z - 3 + 3i} \right|^2}\) có dạng \(a + b\sqrt {10} \) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(a + b\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
|
\(x\) |
\( - \infty \) |
|
0 |
|
2 |
|
\( + \infty \) |
|
\(f'\left( x \right)\) |
|
- |
0 |
+ |
0 |
- |
|
|
\(f\left( x \right)\) |
\( + \infty \) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
\( - \infty \) |
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {m - 4x} \right) + 2{\log _2}\left( {x + 2} \right) = 0\). Giá trị của m để phương trình có nghiệm trên đoạn \(\left[ {2;5} \right]\) là
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {5^x}\) là
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, cạnh \(AC = 3,{\rm{ }}BC = 4\). Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):y - 2z + 1 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\). Mặt phẳng \(\left( Q \right):ax + by + cz - 7 = 0\) đi qua điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right)\), đồng thời vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và song song với đường thẳng d. Tính \(a + b + c\).
Trên giá sách có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 8 cuốn sách Vật Lý khác nhau và 6 cuốn sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai cuốn sách khác nhau?
Cho hình nón \(\left( N \right)\) có đường cao bằng \(\frac{{3a}}{2}\), đáy của \(\left( N \right)\) có bán kính bằng a. Thiết diện qua đỉnh của \(\left( N \right)\) là một tam giác nằm trong mặt phẳng cách tâm đáy của \(\left( N \right)\) một khoảng bằng \(\frac{{3a}}{4}\). Tính theo a diện tích S của tam giác này.
