Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5). Biết rằng mặt cầu (S): cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi . Giá trị của biểu thức a + b + c bằng
A. 40
B. 4
C. 20
D. 30
Đáp án A
Phương trình mặt phẳng (ABC) là
Vì mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5) nên ta có và có vectơ pháp tuyến .
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.
Ta có nên IM = 3 (1)
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC).
Khi đó giao tuyến của (ABC) với mặt cầu (S) là đường tròn tâm H có chu vi bằng suy ra bán kính r = 4.
Ta có
Vì và nên (3)
Từ (1), (2) ta có IM = IH = 3. Do đó (3) phải xảy ra đẳng thức hay
Khi đó nên là vectơ pháp tuyến của (ABC).
Suy ra .
Vì nên
Từ đó suy ra a = 20, b = 10, c = 10.
Vậy a + b + c = 40.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): và hai đường thẳng . Mặt phẳng song song với (P) và cắt theo thứ tự tại M, N sao cho . Điểm nào sau đây thuộc ?
Bên trong hình vuông cạnh a, dựng hình sao bốn cạnh đều như hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình). Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục Ox.
Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa mãn với đồng thời . Tính
Trong không gian (Oxyz), cho hai đường thẳng và . Vị trí tương đối của hai đường thẳng này là.
Cho Parabol (P): . Hai điểm A, B di động trên (P) sao cho AB = 2. Khi diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi (P) và cát tuyến AB đạt giá trị lớn nhất thì hai điểm A, B có tọa độ xác định và . Giá trị của biểu thức bằng