Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt nằm trên các cạnh  và BC sao cho $M{A}^{\text{'}}=M{B}^{\text{'}}$   và $NB=2NC$ . Mặt phẳng $\left(DMN\right)$  chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi  là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A , $V_{\left(H^{\text{'}}\right)}$  là thể tích khối đa diện còn lại. Tỉ số $\frac{V_{\left(H\right)}}{V_{\left(H^{\text{'}}\right)}}$   bằng

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_{2}x.{\log }_2\left(32x\right)+4=0$  bằng:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ , hàm số  $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ $(a,b,c\in ℝ)$ Scó đồ thị như hình vẽ. Hàm số $g\left(x\right)=f\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hình phẳng $\left(H\right)$  giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2x^2-x-1$  và trục hoành. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay $\left(H\right)$   quanh trục hoành bằng

Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình vẽ?

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=x^3+3m{x}^2+3(m^2-1)x+m^3$  có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khoảng $(a;b)$ . Giá trị của $a+2b$  bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh bằng$a\sqrt{3}$ , $\widehat{BAD}=60°$ , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và (ABCD) bằng 45°. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OG và AD bằng

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích $V=\frac{1}{6}$ , góc $\widehat{ACB}=45°$  và $AD+BC+\frac{AC}{\sqrt{2}}=3$  . Hỏi độ dài cạnh CD?

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): $x^2+y^2+z^2=9$  và mặt phẳng (P)  : $4x+2y+4z+7=0$. Hai mặt cầu có bán kính là $R_1$và $R_2$chứa đường tròn giao tuyến của $\left(S\right)$  và $\left(P\right)$  đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (Q): $3y-4z-20=0$  . Tổng  $R_1+R_2$ bằng

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng (d)  : $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-3+t\\ z=4+5t\end{array}$

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sin x-4x^3$

Kí hiệu $z_1$ ,$z_2$  là nghiệm của phương trình $z^2-4z+5=0$ . Giá trị của ${\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2$ .