Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có $\widehat{BAC}={120}^0$, $BC=A{A}^{\text{'}}=a$. Gọi M là trung điểm của CC'. Tính khoảng cách giứa hai đường thẳng BM và AB', biết rằng chúng vuông góc với nhau.

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị như sau:

Hỏi hàm số $g\left(x\right)=2{\left[f\left(x\right)\right]}^3-\frac{1}{2}{\left[f\left(x\right)\right]}^2-12f\left(x\right)+3$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R và có bảng biến thiên của hàm số y=f'(x) như sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình $f\left(x\right)+\frac{1}{4}{x}^4-x^3-3x-m\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in (-2;2)$.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1;1] là:

Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số $y=x^3-3m{x}^2+mx+2$ có hai điểm cực trị.

Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Hỏi trong các số a,b,c,d có bao nhiêu số dương?

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm là $f^{\text{'}}\left(x\right)={(x-1)}^2(3-x)(x^2-x-1)$. Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x}{x+1}$ mà tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ là $-\mathrm{1,}\frac{1}{3},\frac{1}{2}$. Hỏi phương trình $f\left[\sin \left(x^2\right)\right]=f\left(0\right)$ có bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[-\sqrt{\pi };\sqrt{\pi }]$.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Hỏi phương trình $\frac{1}{2}f\left(x\right)-2=0$ có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

Đường cong sau là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số đã cho dưới đây?

Một vật rơi tự do theo phương trình $S\left(t\right)=\frac{1}{2}g{t}^2$ trong đó $g\approx \mathrm{9,8}m/s^2$ là gia tốc trọng trường. Vận tốc tức thời tại thời điểm $t=5s$ là:

Cho hàm số $y=x^4+b{x}^2+c$ có đồ thị như hình vẽ sau:

.

Tính tổng b+c.

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA=a, SA vuông góc với mặt đáy. Thể tích của khối chóp SABCD là

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật, AB>AD . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Xét các mệnh đề sau:

(i). $SM\perp \left(ABCD\right)$.

(ii). $BC\perp \left(SAB\right)$.

(iii). $AN\perp \left(SDM\right)$.

Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?