Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $V.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,A'C'.P$ là điểm trên các cạnh $BB'$ sao cho $PB = 2PB'.$ Thể tích khối tứ diện $CMNP$ bằng: 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}.$ Biết hàm số $y = f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên $m \in \left[ { - 2021;2021} \right]$ để hàm số $g\left( x \right) = f\left( {x + m} \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1;2} \right).$ Hỏi $S$ có bao nhiêu phần tử?

Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + m,$ có đồ thị $\left( C \right)$ với $m$ là tham số thực. Gọi $A$ là điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ có hoành độ bằng 1. Tìm $m$ để tiếp tuyến $\Delta$ với đồ thị $\left( C \right)$ tại $A$ cắt đường tròn $\left(\gamma \right){(x-1)}^2+{(y-1)}^2=4$ tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất. 

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {n^2} + n + 1$ với $n \in \mathbb{N}*$. Số 21 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB = AC = 4,BC = 2,SA = 4\sqrt 3 ;\angle SAB = \angle SAC = {30^0}.$ Gọi ${G_1},{G_2},{G_3}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $\Delta SBC;\Delta SCA;\Delta SAB$ và $T$ đối xứng $S$ qua mặt phẳng $\left( {ABC} \right).$ Thể tích của khối chóp $T.{G_1}{G_2}{G_3}$ bằng $\frac{a}{b}$ với $a,b \in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị $P = 2a - b.$  

Cho tứ diện đều $ABCD,M$ là trung điểm của $BC.$ Khi đó cosin của góc giữa hai đường thẳng nào sau đây có giá trị bằng $\frac{{\sqrt 3 }}{6}?$ 

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B;AB = 2a,BC = a,AA' = 2a\sqrt 3 .$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trong $\left[ { - 2020;2020} \right]$ để phương trình $\log \left( {mx} \right) = 2\log \left( {x + 1} \right)$ có nghiệm duy nhất?

Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right),$ biết $AB = AC = a,BC = a\sqrt 3 .$ Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$

Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 học sinh thành một hàng dọc?

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y = {\log _3}x.$ Tìm điều kiện của ${x_0}$ để điểm $M$ nằm phía trên đường thẳng $y = 2.$

Cho bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{3}}(x^2-2x+6)\le -2.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Gọi $\left( S \right)$ là tập hợp các giá trị nguyên $m$ để đồ thị hàm số $y = \left| {3{x^4} - 8{x^3} - 6{x^2} + 24x - m} \right|$ có 7 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của $S.$

Cho mặt cầu $S\left( {O;r} \right)$, mặt phẳng $\left( P \right)$ cách tâm $O$ một khoảng bằng $\frac{r}{2}$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn. Hãy tính theo $r$ chu vi của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right).$ 

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $a$ và chiều cao gấp 2 lần đường kính đáy của hình trụ. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

Có bao nhiêu cách chọn một bạn lớp trưởng và một bạn lớp phó từ một lớp học gồm 35 học sinh, biết rằng em nào cũng có khả năng làm lớp trưởng và lớp phó?