Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đoạn \(\left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\) là tập hợp con của tập nghiệm bất phương trình \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{{\cos }^2}x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{{\cos }^2}x + 4\cos x + m} \right) + 1.\)</>
A.\(m \in \left( {\frac{7}{4};4} \right]\).
B.\(m \in \left[ {\frac{7}{4};4} \right)\).
C.\(m \in \left( {\frac{7}{4};4} \right)\).
D.\(m \in \left[ {\frac{7}{4};4} \right]\).
Giải bởi Vietjack
Để đoạn \(\left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\) là tập hợp con của tập nghiệm bất phương trình \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{{\cos }^2}x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{{\cos }^2}x + 4\cos x + m} \right) + 1\) thì:
\({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{{\cos }^2}x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{{\cos }^2}x + 4\cos x + m} \right) + 1,\forall x \in \left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\)
\( \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{{\cos }^2}x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {\frac{{{{\cos }^2}x + 4\cos x + m}}{5}} \right),\forall x \in \left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}x + 4\cos x + m >0\\5{\cos ^2}x + 5 >{\cos ^2}x + 4\cos x + m\end{array} \right.,\forall x \in \left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >- {\cos ^2}x - 4\cos x\\m < 4{\cos ^2}x - 4\cos x + 5\end{array} \right.,\forall x \in \left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\)\(\left( 1 \right)\)
Đặt \(t = \cos x.\) Khi đó ta có (1) trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}m >- {t^2} - 4t\\m < 4{t^2} - 4t + 5\end{array} \right.,\forall t \in \left[ { - \frac{1}{2};1} \right].\)
+ Để \(m >- {t^2} - 4t,\forall t \in \left[ { - \frac{1}{2};1} \right] \Leftrightarrow m >\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} \left( { - {t^2} - 4t} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{7}{4};f\left( { - 1} \right) = - 5.\) Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} f\left( t \right) = \frac{7}{4}.\) Nên \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow m >\frac{7}{4}.\)
+ Để \(m < 4{t^2} - 4t + 5,\forall t \in \left[ { - \frac{1}{2};1} \right] \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} \left( {4{t^2} - 4t + 5} \right){\rm{ }}\left( 3 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 4{t^2} - 4t + 5,\forall t \in \left[ { - \frac{1}{2};1} \right].\) Ta có \(g'\left( t \right) = 8t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}.\)
\(g\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 8,g\left( 1 \right) = 5,g\left( {\frac{1}{2}} \right) = 4.\) Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} g\left( t \right) = 4.\) Nên \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow m < 4.\)
Vậy \(m \in \left( {\frac{7}{4};4} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều và \(A'A = A'B = A'C.\) Biết rằng các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc \({60^0}\) và khoảng cách giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng 1. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^3}\left( { - x + 5} \right).\) Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là
Cho parabol \(\left( P \right):y = - {x^2}\) và đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx - 2\) có đồ thị như hình vẽ. Tính giá trị của biểu thức \(P = a - 3b - 5c.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB = a;BC = 2a.\) Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh \(SC\) hợp với mặt đáy góc \({60^0}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a.\)
Cho biểu thức \(P = \sqrt[4]{{x\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt[3]{x}}}}},x >0.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật với cạnh \(AD = 2CD.\) Biết hai mặt \(\left( {SAC} \right),\left( {SBD} \right)\) cùng vuông góc với mặt đáy và đoạn \(BD = 6;\) góc giữa \(\left( {SCD} \right)\) và mặt đáy bằng \({60^0}.\) Hai điểm \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SB.\) Thể tích khối đa diện \(ABCDMN\) bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^3}{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right).\) Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Cho mặt nón tròn xoay đỉnh \(S\) đáy là đường tròn tâm \(O\) có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng \(a.{\rm{ }}A,B\) là hai điểm bất kì trên đường tròn \(\left( O \right).\) Thể tích khối chóp \(S.OAB\) đạt giá trị lớn nhất bằng
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) với \(AD = DC = a,AB = 2a.\) Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\)cùng vuông góc với đáy. Góc giữa \(SC\) và mặt đáy bằng \({60^0}.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đại hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 4x} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^2} - 12x + m} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?
Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - mx + 4\) có hai điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { - 3;3} \right)?\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên.
Đặt \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{{{x^2}}}{2}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Anh Minh muốn xây dựng một hố ga không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được \(3200c{m^3}\), tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2 . Xác định diện tích đáy của hố ga để khi xây hố tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất.
Cho tứ diện \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng \(a,\left( S \right)\) là mặt tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện \(ABCD.M\) là một điểm thay đổi trên \(\left( S \right).\) Tính tổng \(T = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}.\)
