Cho hình lăng trụ có hai đáy là đường tròn tâm \(O\) và \(O',\) bán kính đáy bằng chiều cao bằng \(4a.\) Trên đường tròn đáy có tâm \(O\) lấy điểm \(A,D;\) trên đường tròn \[O'\]lấy điểm \(B,C\) sao cho \(AB\) song song với \(CD\) và \(AB\) không cắt \(OO'.\) Tính độ dài \(AD\) để thể tích khối chóp \(O'.ABCD\) đạt giá trị lớn nhất?
A.\(AD = 4a\sqrt 2 .\)
B. \(AD = 8a.\)
C.\(AD = 2a.\)
D. \(AD = 2a\sqrt 3 .\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án A.
Từ \(B,C\) kẻ các đường thẳng song song với đường sinh của hình trụ cắt đường tròn tâm \(O\) lần lượt tại \(B',C'.\)
Vì \(AD\) và \(BC\) là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {AB;CD} \right)\) với hai mặt phẳng song song nên \(AD//BC.\)
Suy ra: \(AD//B'C'\) hay \(AB'C'D\) là hình bình hành nộp tiếp nên nó là hình chữ nhật.
\(\left\{ \begin{array}{l}B'C' \bot DC'\\B'C' \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow B'C' \bot CD\) mà \(BC//B'C'\) suy ra \(BC \bot CD.\)
Vậy tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật.
Đặt \(BC = AD = 2x,\) gọi \(I,I'\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OI' \bot BC\\OO' \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OO'I'} \right) \Rightarrow \left( {OO'I'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) và có giao tuyến \(I'I.\)
Từ \(O'\) kẻ đường vuông góc với \(I'I\) tại \(H,\) suy ra \(O'H\) là đường cao của hình chóp \(O'.ABCD\).
Gọi \(J\) là giao điểm của \(OO'\) và \(I'I,J\) là trung điểm của \(OO'.\)
Ta có: \(OI = O'I' = \sqrt {O'{C^2} - I'{C^2}} = \sqrt {16{a^2} - {x^2}} .\)
\(DC' = 2.OI = 2\sqrt {16{a^2} - {x^2}} \Rightarrow DC = \sqrt {DC{'^2} + CC{'^2}} = \sqrt {4\left( {16{a^2} - {x^2}} \right) + 16{a^2}} = 2\sqrt {20{a^2} - {x^2}} \)
\(\frac{1}{{O'{H^2}}} = \frac{1}{{O'{J^2}}} + \frac{1}{{O'I{'^2}}} = \frac{{O'{J^2} + O'I{'^2}}}{{O'{J^2}.O'I{'^2}}} \Rightarrow O'H = \frac{{O'J.O'I'}}{{\sqrt {O'{J^2} + O'I{'^2}} }} = \frac{{2a.\sqrt {16{a^2} - {x^2}} }}{{\sqrt {20{a^2} - {x^2}} }}\)
Suy ra: \({V_{O'.ABCD}} = \frac{1}{3}.O'H.AD.DC = \frac{1}{3}.\frac{{2a\sqrt {16{a^2} - {x^2}} }}{{\sqrt {20{a^2} - {x^2}} }}.2x.2\sqrt {20{a^2} - {x^2}} = \frac{8}{3}.x\sqrt {16{a^2} - {x^2}} \)
\( = \frac{{8a}}{3}\sqrt {{x^2}\left( {16{a^2} - {x^2}} \right)} \le \frac{{8a}}{3}.\frac{{{x^2} + 16{a^2} - {x^2}}}{2} = \frac{{64{a^3}}}{3}.\)
Vậy \(\max {V_{O'.ABCD}} = \frac{{64{a^3}}}{3} \Leftrightarrow {x^2} = 16{a^2} - {x^2} \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 a \Rightarrow AD = 4\sqrt 2 a.\)
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\sqrt 2 .\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + a}}{{bx + c}},\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}} \right).\) Khi đó giá trị biểu thức \(T = a - 3b - 2c\) bằng
Cho hàm số \(y = - {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 3\left( {2m - 1} \right)x + 2020.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)?\)
Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4 - 3x}}{{4x + 5}}\) là
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} - x}}\) là
Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB = a\sqrt 3 ,AC = a.\) Điểm \(A'\) cách đều ba điểm \(A,B,C.\) Góc giữa đường thẳng \(AB'\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right),\) bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:
Hàm số \(y = f\left( {1 - 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho \(x,y,z\) là ba số dương lập thành cấp số nhân; còn \({\log _a}x;{\log _{\sqrt a }}y;{\log _{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(Q = \frac{{2017x}}{y} + \frac{{2y}}{z} + \frac{z}{x}.\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,BC = 2a,BA = a\sqrt 3 .\) Biết tam giác \(SAB\) vuông tại \(A,\) tam giác \(SBC\) cân tại \(S,\left( {SAB} \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) một góc \(\varphi \) thỏa mãn \(\sin \varphi = \sqrt {\frac{{20}}{{21}}} .\) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
Đội văn nghệ của lớp 12A có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh của đội văn nghệ sao cho 2 học sinh có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:
Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {4\left| {\sin x} \right| + m} \right) - 3 = 0\) có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc nửa khoảng \(\left( {0;4\pi } \right].\) Tổng các phần tử của \(S\) bằng
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau lập từ các số \(0;1;2;3;4;5;6;7.\) Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập hợp \(S.\) Tính xác suất để số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) bán kính \(R\) có diện tích bằng
