Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ vuông tại $A,AB = a\sqrt 3 ,AC = AA' = a.$ Sin góc giữa đường thẳng $AC'$ và mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$ bằng

Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 1$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đạt cực trị tại hai điểm ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 6.$

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = mx - \frac{1}{{{x^3}}} + 2{x^3}$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ là

Ba bạn tên Học, Sinh, Giỏi mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn $\left[ {1;19} \right].$ Tính xác suất để ba số viết ra có tổng chia hết cho 3  

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $y = f\left( x \right)$ có bao nhiêu cực trị?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ.

 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( {\sqrt {4 + 2f\left( {\cos x} \right)} } \right) = m$ có nghiệm $x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right).$

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB = 3,BC = 4,SC = 5.$ Tam giác $SAC$ nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $\left( {ABCD} \right).$ Các mặt $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ tạo với nhau một góc $\alpha$ và $\cos \alpha = \frac{3}{{\sqrt {29} }}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$

Biết rằng phương trình ${\log _3}\left( {{x^2} - 2020x} \right) = 2021$ có 2 nghiệm ${x_1},{x_2}.$ Tính tổng ${x_1} + {x_2}.$ 

Số mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là: 

Cho $a,b$ là hai số thực dương bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,SA \bot \left( {ABCD} \right),SA = a\sqrt 3 .$ Gọi $M$ là điểm trên đoạn $SD$ sao cho $MD = 2MS.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CM$ bằng 

Hàm số $y = {x^3} - 2x,$ hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại $\left( {{y_{CD}}} \right)$ và giá trị cực tiểu $\left( {{y_{CT}}} \right)$ là:

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ đều cạnh có độ dài là $a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên $SC$ tạo với mặt đáy một góc ${30^0}.$ Thể tích khối chóp 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = {x^3}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right).$ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $AB = a,SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SA = a.$ Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng