Đề số 24
-
5764 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho \(a,b\) là hai số thực dương bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đáp án C.
\(\ln \left( {a{b^2}} \right) = \ln a + \ln {b^2} = \ln a + 2\ln b.\) Do đó câu A sai.
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\) nên câu B sai.
\(\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b\) nên câu D sai.
Câu 2:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên ở hình vẽ. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng
Đáp án D.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương khi \(x\) đi qua \({x_1} = - 1\) và \({x_3} = 1.\)
Mặt khác \(y\left( { - 1} \right) = y\left( 1 \right) = 0.\)
Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là 0.
Câu 3:
Cho tập hợp \(A\) có 26 phần tử. Hỏi \(A\) có bao nhiêu tập con gồm 6 phần tử?
Đáp án D.
Số các tập con bằng số tổ hợp chập 6 của 26: \(C_{26}^6.\)
Câu 4:
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) ảnh của điểm \(M\left( { - 6;1} \right)\) qua phép vị tự tâm \(O\) tỷ số \(k = 2\) là
Đáp án C.
Phép vị tự tâm \(O\left( {0;0} \right)\) tỉ số \(k = 2\) biến điểm \(M\left( { - 6;1} \right)\) thành điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) thỏa mãn:
\(\left\{ \begin{array}{l}x' = - 6.2\\y' = 1.2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - 12\\y' = 2\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( { - 12;2} \right)\)
Câu 5:
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
Đáp án B.
Hàm số \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên tập xác định khi \(0 < a < 1.\)
Vậy hàm số \(y = {\log _{\frac{2}{3}}}x\) nghịch biến trên tập xác định.
Câu 6:
Phương trình \(1 - \cos 2x = 0\) có tập nghiệm là
Đáp án D.
Ta có \(1 - \cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Câu 7:
Đáp án D.
Thể tích của khối chóp là \(V = \frac{1}{3}Bh = \frac{1}{3}.10.3 = 10\) (đvtt).
Câu 8:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = 1;{u_4} = 64.\) Công bội \(q\) của cấp số nhân bằng
Đáp án C.
Ta có: \({u_4} = {u_1}.{q^3},\) do đó \(q = \sqrt[3]{{\frac{{{u_4}}}{{{u_1}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{64}}{1}}} = 4.\)
Câu 9:
Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {{x^2} - x} \right)^{ - 3}}\) là:
Đáp án A.
Do hàm số \(y = {\left( {{x^2} - x} \right)^{ - 3}}\) có số mũ nguyên âm nên điều kiện xác định là \({x^2} - x \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 1\end{array} \right..\)
Vậy tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {0;1} \right\}.\)
Câu 10:
Đồ thị hàm số nào sau đây có đường tiệm cận ngang?
Đáp án C.
+ Ta có hàm số \(y = \frac{x}{2}\) và \(y = {x^3} + 3x\) là hai hàm đa thức nên không có tiệm cận ngang.
+ Xét hàm số: \(y = \frac{1}{x}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = 0\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 0.\)
+ Xét hàm số: \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = - \infty \) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Câu 11:
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(AB = a,SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a.\) Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng
Đáp án C.
Ta có đáy là hình vuông \(ABCD\) nên diện tích đáy là \(B = {a^2},SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên đường cao \(h = SA = a.\)
Vậy thể tích của chóp \(V = \frac{1}{3}Bh = \frac{{{a^2}}}{3}.\)
Câu 13:
Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {3 - 2x} + \sqrt {5 - 6x} \) là:
Đáp án B.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3 - 2x \ge 0\\5 - 6x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{3}{2}\\x \le \frac{5}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le \frac{5}{6}.\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;\frac{5}{6}} \right].\)
Câu 14:
Khoảng nghịch biến của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 3\) là \(\left( {a;b} \right)\) thì \(P = {a^2} - 2ab\) bằng
Đáp án C.
Tập xác định \(D = \mathbb{R}.\)
\(y' = 3{x^2} - 3\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
BBT
Câu 15:
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
Đáp án A.
Theo đồ thị trê ta có hàm số đang xét dạng \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a >0,\) đồ thị đi qua điểm cực trị \(A\left( {0;1} \right)\) và \(B\left( {2; - 3} \right)\) nên ta chọn đáp án A.
Câu 16:
Biết rằng phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} - 2020x} \right) = 2021\) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}.\) Tính tổng \({x_1} + {x_2}.\)
Đáp án A.
Điều kiện \({x^2} - 2020x >0 \Leftrightarrow x < 0 \cup x >2020.\)</>
\({\log _3}\left( {{x^2} - 2020x} \right) = 2021 \Leftrightarrow {x^2} - 2020x = {3^{2021}} \Leftrightarrow {x^2} - 2020x - {3^{2021}} = 0.\)
Vậy phương trình có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa \({x_1} + {x_2} = 2020.\)
Câu 17:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu cực trị?
Đáp án D.
Từ đồ thị hàm số ta suy ra hàm số có 5 điểm cực trị.
Câu 18:
Phương trình \(\log _2^2x = {\log _2}\frac{{{x^4}}}{2}\) có nghiệm là \(a,b.\) Khi đó \(a.b\) bằng
Đáp án D.
Điều kiện: \(x >0\)
Phương trình \(\log _2^2x = {\log _2}\frac{{{x^4}}}{2} \Leftrightarrow \log _2^2x = {\log _2}{x^4} + {\log _2}2 \Leftrightarrow \log _2^2x - 4{\log _2}x - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 2 + \sqrt 5 \\{\log _2}x = 2 - \sqrt 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {2^{2 + \sqrt 5 }}\\x = {2^{2 - \sqrt 5 }}\end{array} \right.\)
Tích hai nghiệm là \({2^{2 - \sqrt 5 }}{.2^{2 + \sqrt 5 }} = {2^4} = 16.\)
Câu 19:
Đáp án C.
Xét hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{3x}}\) có \(y' = \frac{3}{{9{x^2}}} >0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\)
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Vậy hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{3x}}\) không có cực trị.
Câu 20:
Tìm hoành độ các giao điểm của đường thẳng \(y = 2x - \frac{{13}}{4}\) với đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 2}}.\)
Đáp án C.
Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = 2x - \frac{{13}}{4}\) và \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 2}}\) là
\(2x - \frac{{13}}{4} = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 2}} \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {8x - 13} \right) = 4\left( {{x^2} - 1} \right)\) (với \(x \ne - 2)\)
\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 3x - 22 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{11}}{4}\\x = 2\end{array} \right..\)
Vậy hoành độ các giao điểm của hai đồ thị đã cho là \(x = - \frac{{11}}{4};x = 2.\)
Câu 21:
Hàm số \(y = {x^3} - 2x,\) hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại \(\left( {{y_{CD}}} \right)\) và giá trị cực tiểu \(\left( {{y_{CT}}} \right)\) là:
Đáp án A.
Ta có
Suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x = - \frac{{\sqrt 6 }}{3},{y_{CD}} = \frac{{4\sqrt 6 }}{9}\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{{\sqrt 6 }}{3},{y_{CT}} = - \frac{{4\sqrt 6 }}{9}\)
Vậy: \({y_{CT}} = - {y_{CD}}.\)
Câu 22:
Đạo hàm của hàm số \(y = {7^{{x^2}}}\) là
Đáp án D.
Ta có \(y' = \left( {{7^{{x^2}}}} \right)' = \left( {{x^2}} \right)'{.7^{{x^2}}}.\ln 7 = 2x{.7^{{x^2}}}.\ln 7\)
Câu 23:
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B,BB' = a\) và \(AC = a\sqrt 2 .\) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Đáp án D.
Ta có \(A{B^2} + B{C^3} = A{C^2} \Rightarrow AB = BC = a \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Vậy thể tích khối lăng trụ là \(V = {S_{ABC}}.BB' = \frac{{{a^2}}}{2}.a = \frac{{{a^3}}}{2}.\)
Câu 24:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = \frac{{x - 8}}{{x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
Đáp án A.
Tập xác định của hàm số \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\};y' = \frac{{8 - m}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}.\)
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định \( \Leftrightarrow y' >0,\forall x \ne m \Leftrightarrow 8 - m >0 \Leftrightarrow m < 8.\)
Vậy có 7 giá trị nguyên dương của \(m\) là \(1;2;3;4;5;6;7.\)
Câu 25:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) là
Đáp án A.
Ta có \(y' = - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;4} \right].\) Suy ra, hàm số luôn nghịch biến trên \(\left[ {0;4} \right].\)
Vậy \({y_{\min }} = y\left( 4 \right) = \frac{{11}}{5}.\)
Câu 26:
Tìm giá trị của \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - {x^2} + mx - 1\) có hai điểm cực trị.
Đáp án B.
Ta có \(y' = 3{x^2} - 2x + m.\)
Hàm số có hai điểm cực trị khi \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
\( \Leftrightarrow \Delta ' >0 \Leftrightarrow 1 - 3m >0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{3}.\)
Câu 27:
Hàm số \(f\left( x \right) = {\log _3}\left( {2x + 1} \right)\) có đạo hàm là
Đáp án A.
Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {{{\log }_3}\left( {2x + 1} \right)} \right)' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)'}}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 3}} = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 3}}\)
Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Câu 28:
Phương trình \({2^{{x^2} + x - 3}} = 8\) có hai nghiệm là \(a,b.\) Khi đó \(a + b\) bằng
Đáp án B.
Phương trình \({2^{{x^2} + x - 3}} = 8 \Leftrightarrow {x^2} + x - 3 = 3 \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 3\\{x_2} = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow a + b = - 3 + 2 = - 1\)
Vậy \(a + b = - 1.\)
Câu 29:
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC,\) gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SC.\) Tỉ số thể tích của khối chóp \(S.AMN\) và \(S.ABC\) là
Đáp án A.
Ta có \(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{4}.\)
Câu 30:
Cho đồ thị hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _b}x\) như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án A.
Nhận thấy hàm số mũ đồng biến và hàm số lôgarit nghịch biến trên tập xác định nên \(a >1,0 < b < 1.\)
Câu 31:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
Đáp án C.
Câu 32:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^3}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right).\) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Đáp án A.
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 2\end{array} \right..\) Trong đó \(x = - 1\) là nghiệm bội chẵn.
Bảng xét dấu:
Đạo hàm đổi dấu 2 lần qua \(x = 0,x = 2\) nên hàm số có 2 cực trị.
Câu 33:
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _{12}}\left( {{x^2} - 5x - 6} \right)\)
Đáp án B.
Điều kiện để hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: \({x^2} - 5x - 6 >0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x >6\end{array} \right..\)
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right).\)
Câu 34:
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD.\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua trung điểm của \(AC\) và song song với \(AB,CD\) cắt \(ABCD\) theo thiết diện là:
Đáp án B.
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC.\) Theo bài ta có \(M \in \left( \alpha \right).\)
Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua trung điểm của \(AC\) và song song với \(AB,CD.\) Nên:
- Từ \(M,\) kẻ đường thẳng song song với \(AB,\) cắt \(BC\) tại \(Q,\) khi đó \(MQ\) là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)
=>\[\left\{ \begin{array}{l}MQ//AB\\MQ = \frac{1}{2}AB\end{array} \right. = >Q\]là trung điểm của BC.
- Từ \(Q,\) kẻ đường thẳng song song với \(CD,\) cắt \(BD\) tại \(P.\) Tương tự ta cũng có \(\left\{ \begin{array}{l}QP//CD\\QP = \frac{1}{2}CD\end{array} \right.\) và \(P\) là trung điểm của \(BD.\)
- Từ \(M,\) kẻ đường thẳng song song với \(CD,\) cắt \(AD\) tại \(N.\) Tương tự ta cũng có \(\left\{ \begin{array}{l}MN//CD\\MN = \frac{1}{2}CD\end{array} \right.\) và \(N\) là trung điểm của \(AD.\) Khi đó suy ra \(NP//AB\) và \(\left\{ \begin{array}{l}NP//AB\\NP = \frac{1}{2}AB\end{array} \right.\).
Như vậy \(M,N,P,Q \in \left( \alpha \right),\left\{ \begin{array}{l}MQ//NP//AB\\MQ = NP = \frac{1}{2}AB\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}MN//PQ//CD\\MN = PQ = \frac{1}{2}CD\end{array} \right.\left( 1 \right).\)
Câu 35:
Số mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là:
Đáp án B.
Có 9 mặt đối xứng của khối lập phương.
Trong đó có 3 mặt phẳng đi qua trung điểm 4 cạnh song song với nhau chia khối lập phương thành 2 khối hộp chữ nhật.
Sáu mặt còn lại chia khối lập phương thành 2 khối lăng trụ tam giác bằng nhau.
Câu 36:
Cho hàm số \(y = \frac{{x - \sqrt {{x^2} + 2x} }}{{{x^2} + mx - m - 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Giá trị của \(m\) để \(\left( C \right)\) có đúng hai tiệm cận thuộc tập nào sau đây?
Đáp án D.
Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - \sqrt {{x^2} + 2x} }}{{{x^2} + mx - m - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x}}{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2x} } \right)\left( {{x^2} + mx - m - 3} \right)}} = 0\)
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - \sqrt {{x^2} + 2x} }}{{{x^2} + mx - m - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + x\sqrt {1 + \frac{1}{x}} }}{{{x^2} + mx - m - 3}} = 0\)
Vậy hàm số luôn có một tiệm cận ngang.
Để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng.
Yêu cầu bài toán tương đương \({x^2} + mx - m - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 0 hoặc \({x^2} + mx - m - 3 = 0\) có một nghiệm duy nhất khác 0.
Trường hợp 1: \({x^2} + mx - m - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 0.
\( \Leftrightarrow - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\)
Trường hợp 2: \({x^2} + mx - m - 3 = 0\) có một nghiệm duy nhât khác \(0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 3\\\Delta = {m^2} + 4m + 12 = 0\end{array} \right.\)
Trường hợp này không tồn tại \(m.\)
Vậy \(m = - 3 \in \left( { - 5;2} \right).\) Ta chọn đáp án D.
Câu 37:
Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50.000 đồng. Với giá này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm 50 quả. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30.000 đồng.
Đáp án D.
Gọi \(x\) đồng \(\left( {30 < x < 50} \right)\) là giá bán bưởi mới để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất.
Suy ra giá bán ra đã giảm là \(50 - x\) đồng.
Số lượng bưởi bán ra đã tăng thêm là \(\frac{{50\left( {50 - x} \right)}}{5} = 500 - 10x.\)
Tổng số bưởi bán được là \(40 + 500 - 10x = 540 - 10x.\)
Doanh thu của cửa hàng là \(\left( {540 - 10x} \right)x.\)
Số tiền vốn ban đầu để mua bưởi là \(\left( {540 - 10x} \right)30.\)
Vậy lợi nhuận của cửa hàng là \(\left( {540 - 10x} \right)x - \left( {540 - 10x} \right)30 = - 10{x^2} + 840x - 16200.\)
Ta có: \(f\left( x \right) = - 10{x^2} + 840x - 16200 = - 10{\left( {x - 42} \right)^2} + 1440 \le 1440.\)
Suy ra \(\max f\left( x \right) = 1440\) khi \(x = 42.\)
Vậy giá bán mỗi quả là 42.000 đồng thì cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất
Câu 38:
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) vuông tại \(A,AB = a\sqrt 3 ,AC = AA' = a.\) Sin góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng
Đáp án B.
Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot BC\) với \(H \in BC.\)
Do \(BB' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BB' \bot AH.\) Suy ra \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right).\)
Khi đó góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) là góc giữa đường thẳng \(AC'\) và đường thẳng \(HC'\) hay là góc \(\widehat {AC'H}.\)
Ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + {a^2}} = 2a;AC' = AC\sqrt 2 = a\sqrt 2 \)
Khi đó trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:
\(AH.BC = AB.AC \Leftrightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{a\sqrt 3 .a}}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Trong tam giác \(AHC'\) vuông tại \(H\) ta có: \(\sin \widehat {AC'H} = \frac{{AH}}{{AC'}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}.\)
Câu 39:
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) đều cạnh có độ dài là \(a,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên \(SC\) tạo với mặt đáy một góc \({30^0}.\) Thể tích khối chóp
Đáp án B.
Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên góc giữa \(SC\) với mặt phẳng đáy là góc \(\left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA} = {30^0}.\)
Trong tam giác vuông \(SAC:SA = AC.\tan {30^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)
Vậy thể tích hình chóp là \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{{12}}.\)
Câu 40:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) có bảng biến thiên như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) + 1 = 0\) là
Đáp án D.
Ta có \(f\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - 1\)
Từ BBT ta thấy phương trình \(f\left( x \right) = - 1\) có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 41:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SA \bot \left( {ABCD} \right),SA = a\sqrt 3 .\) Gọi \(M\) là điểm trên đoạn \(SD\) sao cho \(MD = 2MS.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CM\) bằng
Đáp án A.
Ta có \(AB//CD\) nên \(AB//\left( {SCD} \right),\) mà \(CM \subset \left( {SCD} \right).\)
Do đó \(d\left( {AB,CM} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right).\)
Kẻ \(AH \bot SD\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AH \bot CD.\)
Khi đó \(AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH.\)
Xét tam giác \(SAD\) vuông tại \(A,AH = \sqrt {\frac{{S{A^2}.A{D^2}}}{{S{A^2} + A{D^2}}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}.{a^2}}}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Vậy \(d\left( {AB,CM} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Câu 42:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông đỉnh \(B,AB = a,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a.\) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng
Đáp án B.
Kẻ \(AH \bot SB\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AH \bot BC.\)
Khi đó \(AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH.\)
Xét tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(A,AH = \frac{{SB}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Câu 43:
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a,\) cạnh bên bằng \(3a.\) Tính thể tích \(V\) của hình chóp đã cho.
Đáp án C.
Gọi \(O = AC \cap BD.\)
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right).\)
Theo bài ra ta có: \(OA = \frac{1}{2}AC = a\sqrt 2 .\)
Xét tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\) ta có: \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = a\sqrt 7 .\)
Diện tích hình vuông \(ABCD\) bằng: \({S_{ABCD}} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}.\)
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 7 .4{a^2} = \frac{{4\sqrt 7 {a^3}}}{3}.\)
Câu 44:
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 1\) với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số đạt cực trị tại hai điểm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 6.\)
Đáp án B.
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}.\)
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x + m\)
Hàm số đã cho có cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Hay: \(\Delta ' = 9 - 3m >0 \Leftrightarrow m < 3.\left( 1 \right)\)
Khi đó \(y' = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} = \frac{m}{3}\end{array} \right.\)
Theo bài ra: \(x_1^2 + x_2^2 = 6 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 6 \Leftrightarrow {2^2} - \frac{{2m}}{3} = 6 \Leftrightarrow m = - 3\) (thỏa mãn (1)).
Vậy với \(m = - 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 45:
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = mx - \frac{1}{{{x^3}}} + 2{x^3}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) là
Đáp án A.
Ta có \(y' = m + \frac{3}{{{x^4}}} + 6{x^2}.\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow \frac{3}{{{x^4}}} + 6{x^2} \ge - m,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right).\)
Mặt khác \(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right),\frac{3}{{{x^4}}} + 6{x^2} = 3\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^2} + {x^2}} \right) \ge 9.\)
Vậy \( - m \le 9 \Leftrightarrow m \ge - 9.\)
Câu 46:
Tổng các nghiệm của phương trình \(\log _2^2\left( {3x} \right) + {\log _3}\left( {9x} \right) - 7 = 0\) bằng
Đáp án C.
Điều kiện \(x >0.\)
Ta có
\(\log _2^2\left( {3x} \right) + {\log _3}\left( {9x} \right) - 7 = 0 \Leftrightarrow {\left( {1 + {{\log }_3}x} \right)^2} + 2 + {\log _3}x - 7 - 0 \Leftrightarrow \log _3^2x + 3{\log _3}x - 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x = 1\\{\log _3}x = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \frac{1}{{81}}\end{array} \right..\)
Vậy tổng các nghiệm bằng \(\frac{{244}}{{81}}.\)
Câu 47:
Cho phương trình \({27^x} + 3x{.9^x} + \left( {3{x^2} + 1} \right){3^x} = \left( {{m^3} - 1} \right){x^3} + \left( {m - 1} \right)x,m\) là tham số. Biết rằng giá trị \(m\) nhỏ nhất để phương trình đã cho có nghiệm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là \(a + e\ln b,\) với \(a,b\) là các số nguyên. Giá trị của biểu thức \(17a + 3b\)
Đáp án A.
Phương trình đã cho tương đương
\({\left( {{3^x}} \right)^3} + 3x.{\left( {{3^x}} \right)^2} + \left( {3{x^2} + 1} \right){.3^x} = \left( {{m^3} - 1} \right){x^3} + \left( {m - 1} \right)x\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{3^x} + x} \right)^3} + {3^x} + x = {\left( {mx} \right)^3} + mx\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( u \right) = {u^3} + u,f'\left( u \right) = 3{u^2} + 1 >0,\forall u \in \mathbb{R}.\)
Phương trình (*) tương đương \(f\left( {{3^x} + x} \right) = f\left( {mx} \right)\)
Nên \({3^x} + x = mx \Leftrightarrow m = \frac{{{3^x}}}{x} + 1,x >0.\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{3^x}}}{x} + 1,x >0.\)
Ta có \(g'\left( x \right) = \frac{{{3^x}\left( {x\ln 3 - 1} \right)}}{{{x^2}}} \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {\log _3}e.\)
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(m \ge g\left( {{{\log }_3}e} \right) = 1 + e\ln 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\b = 3\end{array} \right..\)
Câu 48:
Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật với \(AB = 3,BC = 4,SC = 5.\) Tam giác \(SAC\) nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right).\) Các mặt \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) tạo với nhau một góc \(\alpha \) và \(\cos \alpha = \frac{3}{{\sqrt {29} }}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\)
Đáp án C.
Kẻ \(SH \bot AC\left( {H \in AC} \right)\) vì \(\Delta SAC\) nhọn.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\SH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)
Kẻ \(MB \bot AC \Rightarrow MB \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow MB \bot SA,\left( 1 \right).\)
Ta có \(AC = SC = 5\) nên \(\Delta SAC\) cân tại \(C.\)
Gọi \(E\) là trung điểm của \(SA\) nên \(SA \bot EC,\) kẻ \(MN//EC\left( {N \in SA} \right)\) nên \(SA \bot MN\left( 2 \right).\)
Từ (1), (2) suy ra \(SA \bot \left( {MNB} \right) \Rightarrow \widehat {BNM} = \alpha .\)
Ta có \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \Rightarrow \tan \alpha = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{{\sqrt {29} }}} \right)}^2}}} - 1} = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}.\)
Trong \(\Delta ABC:MB = \frac{{AB.BC}}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} = \frac{{12}}{5},AM = \sqrt {A{B^2} - M{B^2}} = \frac{9}{5}.\)
Trong \(\Delta BMN:MN = \frac{{MB}}{{\tan \alpha }} = \frac{{18\sqrt 5 }}{{25}}.\)
Trong \(\Delta SAC:\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{EC}} = \frac{{\frac{9}{5}}}{5} = \frac{9}{{25}}\) suy ra \(EC = \frac{{25MN}}{9} = 2\sqrt 5 .\)
Ta có \(SA = 2SE = 2\sqrt {S{C^2} - E{C^2}} = 2\sqrt 5 \)
Và \(SH.AC = SA.EC \Leftrightarrow SH = \frac{{SA.EC}}{{AC}} = \frac{{2\sqrt 5 .2\sqrt 5 }}{5} = 4.\)
Vậy thể tích khối chóp là \(V = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.4.3.4 = 16.\)
Câu 49:
Ba bạn tên Học, Sinh, Giỏi mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn \(\left[ {1;19} \right].\) Tính xác suất để ba số viết ra có tổng chia hết cho 3
Đáp án D.
Mỗi bạn có 19 cách để viết ra số mình chọn nên không gian mẫu có \(n\left( \Omega \right) = {19^3} = 6859\) cách.
Gọi \(A\) là biến cố 3 số được viết ra của 3 bạn có tổng là một số chia hết cho 3.
Ta đặt \({S_1} = \left\{ {1;4;7;10;13;16;19} \right\}\) là tập hợp các số tự nhiên trong đoạn \(\left[ {1;19} \right]\) khi chia cho 3 thì dư 1.
\({S_2} = \left\{ {2;5;8;11;14;17} \right\}\) là tập hợp các số tự nhiên trong đoạn \(\left[ {1;19} \right]\) khi chia cho 3 thì dư 2.
\({S_3} = \left\{ {3;6;9;12;15;18} \right\}\) là tập hợp các số tự nhiên trong đoạn \(\left[ {1;19} \right]\) chia hết cho 3.
Khi đó biến cố \(A\) xảy ra khi và chỉ khi các số của mỗi bạn viết ra cùng thuộc một tập \({S_i}\left( {i = 1;2;3} \right)\) hoặc ba số của 3 bạn viết ra thuộc về 3 tập phân biệt, khi đó ta có
\(n\left( A \right) = {7^3} + {6^3} + 7.6.6.6 = 2287\) cách
Vậy xác suất để ba số viết ra có tổng chia hết cho 3 là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{2287}}{{6859}}.\)
Câu 50:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt {4 + 2f\left( {\cos x} \right)} } \right) = m\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)
Đáp án C.
Với \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có \(0 < \cos x \le 1\) từ đồ thị suy ra \( - 2 \le f\left( {\cos x} \right) < 0.\)
Do vậy \(0 \le 4 + 2f\left( {\cos x} \right) < 4\) từ đây ta được \(0 \le \sqrt {4 + 2f\left( {\cos x} \right)} < 2.\)
Lại từ đồ thị ta có \( - 2 \le f\left( {\sqrt {4 + 2f\left( {\cos x} \right)} } \right) < 2\) suy ra phương trình \(f\left( {\sqrt {4 + 2f\left( {\cos x} \right)} } \right) = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \( - 2 \le m < 2.\)
Xét với \(m \in \mathbb{Z}\) ta chọn \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}.\)
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt {4 + 2f\left( {\cos x} \right)} } \right) = m\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)