Cho phương trình: \({\sin ^3}x + 2\sin x + 3 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + {\cos ^2}x + m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình trên có đúng một nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right)?\)
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Giải bởi Vietjack
Đáp án A.
\({\sin ^2}x + 2\sin x + 3 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + {\cos ^2}x + m\)
\( \Leftrightarrow {\sin ^3}x + 2\sin x + 1 - {\cos ^2}x + 2 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + m\)
\( \Leftrightarrow {\sin ^3}x + 2\sin x + {\sin ^2}x + 2 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + m\)
Đặt \(u = \sqrt {2{{\cos }^3} + m - 2} \Rightarrow {u^2} = 2{\cos ^3}x + m - 2\)
Phương trình trở thành:
\({\sin ^3}x + 2\sin x + {\sin ^2}x + 2 = \left( {{u^2} + 2} \right)u + {u^2} + 2\)
\({\sin ^3}x + 2\sin x + {\sin ^2}x + 2 = {u^3} + {u^2} + 2u + 2\left( 1 \right)\)
Xét hàm đặc trưng: \(f\left( t \right) = {t^3} + {t^2} + 2t + 2\)
\(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 2t + 2 >0,\forall t \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm đồng biến
Phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {\sin x} \right) = f\left( u \right) \Leftrightarrow u = \sin x\)
Với \(u = \sin x\) ta có \(\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} = \sin x \Leftrightarrow 2{\cos ^3}x + m - 2 = {\sin ^2}x\)
\( \Leftrightarrow - m = 2{\cos ^3}x + {\cos ^2}x - 1\)
Đặt \(X = \cos x\) phương trình trở thành \( - m = 2{X^3} + {X^2} - 1\left( 2 \right)\)
Với \(x \in \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow X \in \left( { - \frac{1}{2};1} \right].\)
Ứng với mỗi \(X \in \left( { - \frac{1}{2};1} \right]\) thì có duy nhất một giá trị của \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) do đó phương trình ban đầu có đúng một nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) thì phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc \(X \in \left( { - \frac{1}{2};1} \right]\)
Xét hàm \(g\left( X \right) = 2{X^3} + {X^2} - 1\)
\(g'\left( X \right) = 6{X^2} + 2X;g'\left( X \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 0\\X = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc \(X \in \left( { - \frac{1}{2};1} \right]\) khi và chỉ khi \(\left[ \begin{array}{l}m = - 3\\ - \frac{{80}}{{27}} < m \le 0\end{array} \right.\)
Mà \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0} \right\}\) do vậy có 4 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 8{x^2} + 16x - 9\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {3 - x} \right|} \right)\) đồng biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau?
Cho tứ diện \(SABC\) có các cạnh \(SA,SB,SC\) đôi một vuông góc với nhau. Biết \(SA = 3a,SB = 4a,SC = 5a.\) Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối tứ diện \(SABC\).
Cho hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2}\) có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \( - {x^4} + 2{x^2} = m\) có hai nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) và có bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) như sau
![Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-4;4] và có bảng biến thiên trên đoạn [-4;4] như sau. Phát biểu nào sau đây đúng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1651165933/1651166122-image8.png)
Phát biểu nào sau đây đúng?
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {3m + 5} \right)x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 ,\) cạnh bên bằng \(2a.\) Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right).\) Tính \(\cos \alpha .\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 .\) Góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là \(M,m.\) Giá trị biểu thức \(P = {M^2} + {m^2}\) bằng
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và hai mặt bên \(\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\) biết \(SC = a\sqrt 3 .\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình \(f\left( x \right) = 1.\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,SA \bot \left( {ABC} \right),\) góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB\) bằng:
Cho khối chóp có thể tích \(V,\) diện tích đáy là \(B\) và chiều cao \(h.\) Tìm khẳng định đúng?
