Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 ,\) cạnh bên bằng \(2a.\) Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right).\) Tính \(\cos \alpha .\)
A.\(\frac{{\sqrt {21} }}{2}.\)
B.\(\frac{{\sqrt {21} }}{{14}}.\)
C.\(\frac{{\sqrt {21} }}{3}.\)
D. \(\frac{{\sqrt {21} }}{7}.\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án D.
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right).\) Hình chóp \(S.ABCD\) đều nên \(H\) là tâm hình vuông \(ABCD,\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\) và \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right).\)
Ta có: \(HD \bot AC \Rightarrow HD \bot \left( {SAC} \right).\left( 1 \right)\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD,\) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HM\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHM} \right)\) mà \(CD \subset \left( {SCD} \right).\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \bot \left( {SHM} \right)\\\left( {SCD} \right) \cap \left( {SHM} \right) = SM\end{array} \right.\) nên từ \(H\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(SM\) tại \(K,\) suy ra \(HK \bot \left( {SCD} \right)\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(\alpha = \left( {\left( {SAC} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \left( {HD,HK} \right) = \widehat {KHD}.\)
Tam giác \(KHD\) vuông tại \(K\) có \(HD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}a\sqrt 2 .\sqrt 2 = a.\)
\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{S{D^2} - H{D^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2} - {a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\)
Vậy \(\cos \alpha = \frac{{HK}}{{HD}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}.\)
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 8{x^2} + 16x - 9\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {3 - x} \right|} \right)\) đồng biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau?
Cho tứ diện \(SABC\) có các cạnh \(SA,SB,SC\) đôi một vuông góc với nhau. Biết \(SA = 3a,SB = 4a,SC = 5a.\) Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối tứ diện \(SABC\).
Cho phương trình: \({\sin ^3}x + 2\sin x + 3 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + {\cos ^2}x + m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình trên có đúng một nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right)?\)
Cho hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2}\) có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \( - {x^4} + 2{x^2} = m\) có hai nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) và có bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) như sau
![Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-4;4] và có bảng biến thiên trên đoạn [-4;4] như sau. Phát biểu nào sau đây đúng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1651165933/1651166122-image8.png)
Phát biểu nào sau đây đúng?
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {3m + 5} \right)x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 .\) Góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là \(M,m.\) Giá trị biểu thức \(P = {M^2} + {m^2}\) bằng
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và hai mặt bên \(\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\) biết \(SC = a\sqrt 3 .\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình \(f\left( x \right) = 1.\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,SA \bot \left( {ABC} \right),\) góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB\) bằng:
Cho khối chóp có thể tích \(V,\) diện tích đáy là \(B\) và chiều cao \(h.\) Tìm khẳng định đúng?
