Với giá trị nào của m thì giá trị lớn nhất của hàm số y = –x² – 2x + 3 bằng giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² – 5m + 2 ?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hàm số y = –x² – 2x + 3 có:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 2)}}{{2.( - 1)}} = - 1\)

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 2)}^2} - 4.( - 1).3)}}{{4.( - 1)}} = \frac{{ - 16}}{{ - 4}} = 4\)

Ta có: a = –1< 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là 4 tại x = –1.

Xét hàm số y = x² – 5m + 2 có:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 5m)}}{{2.1}} = \frac{{5m}}{2}\)

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - ({{( - 5m)}^2} - 4.1.2)}}{{4.1}} = \frac{{ - 25{m^2} + 8}}{4} = \frac{{ - 25{m^2}}}{4} + 2\)

Ta có: a = 1 > 0 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. Để giá trị lớn nhất của hàm số y = –x² – 2x + 3 bằng giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² – 5m + 2 thì:

\(\frac{{ - 25{m^2}}}{4} + 2 = 4 \Leftrightarrow \frac{{ - 25{m^2}}}{4} = 2 \Leftrightarrow {m^2} = - \frac{8}{{25}}\) (vô lí do m² ≥ 0 với mọi số thực m).

Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.