Cho phương trình bậc hai

    ax² - 2(a + 1)x + (a + 1)²a = 0 (E)

    Kí hiệu S là tổng, P là tích các nghiệm (nếu có) của phương trình trên.

    a) Với giá trị nào của a, phương trình (E) có nghiệm?

    b) Biện luận dấu của S và P. Từ đó suy ra dấu các nghiệm của (E).

    c) Tìm hệ thức giữa S và P độc lập đối với a.

    d) Với những giá trị nào của a, các nghiệm x₁, x₂ của (E) thỏa mãn hệ thức x₁ = 3x₂? Tìm các nghiệm x₁, x₂ trong mỗi trường hợp đó.

Rút gọn

    a) $\frac{{\sin }^{2}2\mathrm{\alpha }+4{\sin }^4\mathrm{\alpha }-4{\sin }^2\mathrm{\alpha } {\cos }^2\mathrm{\alpha }}{4-{\sin }^{2}2\mathrm{\alpha }-4{\sin }^2\mathrm{\alpha }}$

    b) $3-4\cos 2\mathrm{a}+\cos 4\mathrm{a}$

    c) $\frac{\mathrm{cot\alpha }+\mathrm{tan\alpha }}{1+\tan 2\mathrm{\alpha tan\alpha }}$

Tập nghiệm của bất phương trình 3x² - 7x + 4 ≤ 0 là:

Trong mặt phẳng tọa đọ Oxy hãy tìm tọa độ các đỉnh M, N của hình vuông AMBN, biết tọa độ hai đỉnh A(1; 1) và B(3; 5).

Giải các hệ phương trình sau

    a) $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2-\mathrm{xy}=28\\ {\mathrm{y}}^2-\mathrm{xy}=-12\end{array}\right.$

    b) $\left\{\begin{array}{l}5(\mathrm{x}+\mathrm{y})+2\mathrm{xy}=-19\\ 15\mathrm{xy}+5(\mathrm{x}+\mathrm{y})=-175\end{array}\right.$

a) $\frac{\sqrt{1+\mathrm{cos\alpha }}+\sqrt{1-\mathrm{cos\alpha }}}{\sqrt{1+\mathrm{cos\alpha }}-\sqrt{1-\mathrm{cos\alpha }}}=\cot \left(\frac{\mathrm{\alpha }}{2}+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$

b) $\frac{\cos 4\mathrm{\alpha } \tan 2\mathrm{\alpha }-\sin 4\mathrm{\alpha }}{\cos 4\mathrm{\alpha } \cot 2\mathrm{\alpha }+\sin 4\mathrm{\alpha }}=-{\tan }^{2}2\mathrm{a}$

c) $1+2\cos 7\mathrm{\alpha }=\frac{\sin 10,5\mathrm{\alpha }}{\sin 3,5\mathrm{\alpha }}$

d) $\frac{\tan 3\mathrm{\alpha }}{\mathrm{tan\alpha }}=\frac{3-{\tan }^2\mathrm{\alpha }}{1-3{\tan }^2\mathrm{\alpha }}$

Tập nghiệm của bất phương trình x² - 3x + 5 > 0 là

Rút gọn

    a) $4{\cos }^4\mathrm{a}-2\cos 2\mathrm{a}-\frac{1}{2}\cos 4\mathrm{a}$

    b) ${\sin }^2\mathrm{a}(1+\frac{1}{\mathrm{sina}}+\mathrm{cota})(1-\frac{1}{\mathrm{sina}}+\mathrm{cota})$

    c) $\frac{\cos 2\mathrm{a}}{{\cos }^4\mathrm{a}-{\sin }^4\mathrm{a}}-\frac{{\cos }^4\mathrm{a}+{\sin }^4\mathrm{a}}{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}2\mathrm{a}}$

Tìm k sao cho phương trình sau đây có nghiệm kép: x² + kx + 2k = 0.

Tính giá trị biểu thức $\cos \frac{\mathrm{\pi }}{7}\cos \frac{4\mathrm{\pi }}{7}\cos \frac{5\mathrm{\pi }}{7}$

Giải và biện luận các hệ phương trình sau

a) (1) $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{ay}=1\\ \mathrm{ax}+\mathrm{y}=2\mathrm{a}\end{array}\right.$

b) (2) $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{y}=\mathrm{a}\\ \mathrm{x}+\mathrm{ay}={\mathrm{a}}^2\end{array}\right.$

Cho phương trình: 3x² - 5x - 2 = 0

Tổng bình phương các nghiệm của nó là:

 Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính

    a) cos67^ο30' và cos75^ο

    b) $\frac{\cot {15}^{\mathrm{o}}+1}{2\cot {15}^{\mathrm{o}}}$

    c) tan20^οtan40^οtan80^ο

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết tọa độ trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là M(1;2), N(3;-5), P(5; 7).

Giá trị của biểu thức cos4a - sin4a.cot2a là:

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình

$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{y}-\mathrm{x}\le 6\\ 9\mathrm{y}+4\le 56\\ 3\mathrm{x}+5\mathrm{y}\ge 4\end{array}\right.$