Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm I(1; 2), M(-2; 3), đường thẳng d có phương trình $3\mathrm{x} – \mathrm{y} + 9 = 0$ và đường tròn (C) có phương trình: ${\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{y}}^2 + 2\mathrm{x} - 6\mathrm{y} + 6 = 0$.

Hãy xác định tọa độ của điểm M’, phương trình của đường thẳng d’ và đường tròn (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua

a) Phép đối xứng qua gốc tọa độ;

b) Phép đối xứng qua tâm I.

a) Gọi M', d' và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua O. Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có :

M′ = (2; −3), phương trình của d′: 3x – y – 9 = 0, phương trình của đường tròn (C′): ${\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{y}}^2 - 2\mathrm{x} + 6\mathrm{y} + 6 = 0$.

b) Gọi M', d' và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua I .

Vì I là trung điểm của MM' nên M′ = (4;1)

Vì d' song song với d nên d' có phương trình 3x – y + C = 0. Lấy một điểm trên d, chẳng hạn N(0; 9). Khi đó ảnh của N qua phép đối xứng qua tâm I là N′(2; −5). Vì N' thuộc d nên ta có 3.2 − (−5) + C = 0. Từ đó suy ra C = -11.

Vậy phương trình của d' là 3x – y – 11 = 0.

Để tìm (C'), trước hết ta để ý rằng (C) là đường tròn tâm J(−1; 3), bán kính bằng 2. Ảnh của J qua phép đối xứng qua tâm I là J′(3; 1). Do đó (C') là đường tròn tâm J' bán kính bằng 2. Phương trình của (C') là ${(\mathrm{x} - 3)}^2 + {(\mathrm{y} - 1)}^2 = 4$.