Quan sát đồ thị hàm số y = sinx ở Hình 24.

Nêu tập giá trị của hàm số y = sinx.

Làm tương tự như trên đối với các đoạn [‒3π; ‒π], [π; 3π], …, ta có đồ thị hàm số y = sin x trên ℝ được biểu diễn ở Hình 24.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x ; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; sinx) với x ∈ [‒π; π] và nối lại ta được đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π] (Hình 23).

Với mỗi số thực x, tồn tại duy nhất điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = x (rad) (Hình 22). Hãy xác định sinx.

Cho ví dụ về hàm số tuần hoàn.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ và có đồ thị như Hình 21.

Lấy điểm M(x₀; f(x₀)) thuộc đồ thị hàm số với x₀ ∈ [a; a + T]. So sánh mỗi giá trị f(x₀ + T), f(x₀ − T) với f(x₀).

Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ và có đồ thị như Hình 21.

Có nhận xét gì về đồ thị hàm số trên mỗi đoạn [a ; a + T], [a + T; a + 2T], [a – T; a]?

Cho ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ.

Cho hàm số g(x) = x.

• Với x ∈ ℝ, hãy so sánh g(‒x) và ‒g(x).

• Quan sát đường thẳng d là đồ thị của hàm số g(x) = x (Hình 20) và cho biết gốc toạ độ O có là tâm đối xứng của đường thẳng d hay không.

Cho hàm số f(x) = x².

• Với x ∈ ℝ, hãy so sánh f(‒x) và f(x).

• Quan sát parabol (P) là đồ thị của hàm số f(x) = x² (Hình 19) và cho biết trục đối xứng của (P) là đường thẳng nào.

Guồng nước (hay còn gọi là cọn nước) không chỉ là công cụ phục vụ sản xuất nông nghiệp, mà đã trở thành hình ảnh quen thuộc của bản làng và là một nét văn hoá đặc trưng của đồng bào dân tộc miền núi phía Bắc.

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m. Khi guồng quay đều, khoảng cách h (m) từ một ống đựng nước gắn tại một điểm của guồng đến mặt nước được tính theo công thức h = |y|, trong đó \(y = 2,5\sin \left( {2\pi x - \frac{\pi }{2}} \right) + 2\), với x (phút) là thời gian quay của guồng (x ≥ 0).

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020).

Khoảng cách h phụ thuộc vào thời gian quay x như thế nào?

Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15 m (Hình 17).

Tìm góc α (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15 m (Hình 17).

Tính tanα, ở đó α là góc giữa hai sợi cáp trên.

Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{\sin 2x}}{{1 + \cos 2x}}\).

Cho \(cos2x = \frac{1}{4}\). Tính: \(A = \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\); \(B = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\).

Cho \(cos2a = \frac{1}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \). Tính: sina, cosa, tana.

Cho sina + cosa = 1. Tính: sin2a.

Cho \(\sin a = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\). Tính cos2a, cos4a.

Cho tan(a + b) = 3, tan(a – b) = 2. Tính: tan2a, tan2b.

Tính:

A = sin(a – 17°)cos(a + 13°) – sin(a + 13°)cos(a – 17°);

\(B = cos\left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{6} - b} \right) - \sin \left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{6} - b} \right)\).

Cho \(\cos a = \frac{3}{5}\) với \(0 < a < \frac{\pi }{2}\). Tính \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right),cos\left( {a - \frac{\pi }{3}} \right),\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\).

Tính: \[D = \frac{{\sin \frac{{7\pi }}{9} + \sin \frac{\pi }{9}}}{{{\rm{cos}}\frac{{7\pi }}{9} - \cos \frac{\pi }{9}}}\].

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và đặt a + b = u; a − b = v rồi biến đổi các biểu thức sau thành tích: cosu + cosv; cosu – cos v; sinu + sinv; sinu – sinv.

Cho \(\cos a = \frac{2}{3}\). Tính \(B = \cos \frac{{3a}}{2}\cos \frac{a}{2}\).

Sử dụng công thức cộng, rút gọn mỗi biểu thức sau:

cos(a + b) + cos(a – b); cos(a + b) – cos(a – b); sin(a + b) + sin(a – b).

Tính: \(\sin \frac{\pi }{8},\cos \frac{\pi }{8}\).

Cho \(\tan \frac{a}{2} = - 2\). Tính tana.

Tính sin2a, cos2a, tan2a bằng cách thay b = a trong công thức cộng.

Tính tan165°.

Khi các biểu thức đều có nghĩa, hãy tính tan (a – b) bằng cách biến đổi \[tan\left( {a - b} \right) = tan\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]\] và sử dụng công thức tan(a + b) có được ở bài trước

Sử dụng công thức cộng đối với sin và côsin, hãy tính tan(a + b) theo tana và tanb khi các biểu thức đều có nghĩa.

Tính cos15°.

Tính cos(a ‒ b) bằng cách biến đổi cos(a – b) = cos[a + (‒b)] và sử dụng công thức cos(a + b) có được ở câu a.

Tính cos(a + b) bằng cách biến đổi cos(a + b) = \(\sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a + b} \right)} \right] = \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) - b} \right]\) và sử dụng công thức cộng đối với sin.

Tính \[\sin \frac{\pi }{{12}}\].

Tính sin(a – b) bằng cách biến đổi sin(a – b) = sin[a + (‒b)] và sử dụng công thức (*).

Cho \(a = \frac{\pi }{6},b = \frac{\pi }{3}\). Hãy tính sina, cosa, sinb, cosb và sin(a + b). Từ đó rút ra đẳng thức sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (*).

Ở lớp dưới, ta đã làm quen với một số phép tính trong tập hợp các số thực, chẳng hạn: phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên và những công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa các luỹ thừa như vậy. Việc lấy các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã hình thành nên những phép tính mới trong tập hợp các số thực, đó là những phép tính lượng giác.

Có hay không những công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa giá trị lượng giác?

Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 2 h.

Tính các giá trị lượng giác của góc alpha trong trường hợp sau:

Tính các giá trị lượng giác của góc alpha trong trường hợp sau:

Tính các giá trị lượng giác của góc alpha trong mỗi trường hợp sau:

Tính các giá trị lượng giác của góc alpha trong mỗi trường hợp sau:

\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)

Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

\(\frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);

Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

kπ (k ∈ ℤ);

Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

\(\frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

\(\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);