Giải bài tập Toán 10 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ 

Hoạt động khởi động trang 46 Toán lớp 10 Tập 2:   

Tìm các giá trị của tham số a, b, c để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được các đường thẳng dưới đây.

Lời giải:

+ Đường thẳng y = 2x + 3 là đồ thị của hàm số y = 2x + 3.

Ta có y = 2x + 3 ⇔ 2x – y + 3 = 0

⇒ a = 2 ; b = −1 ; c = 3.

Vậy a = 2 ; b = −1 ; c = 3.

+ Đường thẳng y = −x + 1 là đồ thị của hàm số y = −x + 1.

Ta có y = −x + 1 ⇔ x + y − 1 = 0

⇒ a = 1 ; b = 1 ; c = −1.

Vậy a = 1 ; b = 1 ; c = −1.

+ Đường thẳng y = 3 là đồ thị của hàm số y = 3.

Ta có y = 3 ⇔  y − 3 = 0 ⇔  0x + y − 3 = 0

⇒ a = 0 ; b = 1 ; c = −3.

Vậy a = 0 ; b = 1 ; c = −3.

+ Đường thẳng x = −2 là đồ thị của hàm số x = −2.

Ta có x = −2 ⇔  x + 2 = 0 ⇔  x + 0y + 2 = 0

⇒ a = 1 ; b = 10; c = 2.

Vậy a = 1 ; b = 10; c = 2.

Hoạt động khám phá 1 trang 46 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và cho hai vectơ $\overrightarrow{n}$ = (a; b) và $\overrightarrow{u}$ = (b; −a) khác vectơ-không. Cho biết  $\overrightarrow{u}$ có giá song song hoặc trùng với Δ.

 a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{n}$. $\overrightarrow{u}$ và nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow{n}$, $\overrightarrow{u}$.

b) Gọi M(x; y) là điểm di động trên Δ. Chứng tỏ rằng vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$ luôn cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}$ và luôn vuông góc với vectơ  $\overrightarrow{n}$.

Lời giải:

a) Ta có  $\overrightarrow{n}$. $\overrightarrow{u}$ = a.b + b.(−a) = 0 ⇒ $\overrightarrow{n}$ ⊥ $\overrightarrow{u}$

⇒ phương của hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{u}$ vuông góc với nhau.

Vậy  $\overrightarrow{n}$. $\overrightarrow{u}$ = 0 và phương của hai vectơ $\overrightarrow{n}$  và $\overrightarrow{u}$  vuông góc với nhau.

b) Vì điểm M và M₀ thuộc đường thẳng Δ nên giá của vectơ $\overrightarrow{u}$  chính là đường thẳng Δ.

Mặt khác vectơ $\overrightarrow{u}$  có giá song song hoặc trùng với Δ nên giá của hai vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$  và $\overrightarrow{u}$  song song hoặc trùng nhau.

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$  và $\overrightarrow{u}$  cùng phương.

Mà phương của hai vectơ $\overrightarrow{n}$  và $\overrightarrow{u}$  vuông góc với nhau nên phương của hai vectơ $\overrightarrow{n}$  và $\overrightarrow{u}$  vuông góc với nhau.

Suy ra $\overrightarrow{n}$ ⊥ $\overrightarrow{M_{0}M}$ .

Vậy vectơ  $\overrightarrow{M_{0}M}$ luôn cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}$ và luôn vuông góc với vectơ $\overrightarrow{n}$ .

Hoạt động khám phá 2 trang 47 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận vectơ $\overrightarrow{u}$ = (u₁; u₂)  làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc Δ, tìm tọa độ của M theo tọa độ của M₀ và $\overrightarrow{u}$ .

Lời giải:

Với mỗi điểm M(x; y) thuộc Δ khi đó $\overrightarrow{M_{0}M}$  = (x – x₀; y – y₀).

Do $\overrightarrow{u}$  là vectơ chỉ phương của Δ nên $\overrightarrow{u}$  và $\overrightarrow{M_{0}M}$  cùng phương.

Tức là có số t ≠ 0 để $\overrightarrow{M_{0}M}$  = t$\overrightarrow{u}$

⇒ (x – x₀; y – y₀) = t(u₁; u₂) 

⇔ (x – x₀; y – y₀) = (tu₁; tu₂) 

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x-x_0=t{u}_1\\ y-y_0=t{u}_2\end{array}\right.$  ⇔  $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+t{u}_1\\ y=y_0+t{u}_2\end{array}\right.$

Vậy tọa độ điểm M thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+t{u}_1\\ y=y_0+t{u}_2\end{array}\right.$ .

Thực hành 1 trang 47 Toán lớp 10 Tập 2:  

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(−9; 5) và nhận $\overrightarrow{v}$ = (8; −4) làm vectơ chỉ phương.

b) Tìm tọa độ điểm P trên Δ, biết P có tung độ bằng 1.

Lời giải:

a) Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(−9; 5) và nhận $\overrightarrow{v}$= (8; −4) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=-9+8t\\ y=5-4t\end{array}\right.$

b) Giả sử điểm P trên d có tung độ bằng 1 có tọa độ là P(x; 1).

Vì P nằm trên d nên thay y = 1 vào phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=-9+8t\\ y=5-4t\end{array}\right.$  ta được : $\left\{\begin{array}{l}x=-9+8t\\ 1=5-4t\end{array}\right.$.

 Từ phương trình 1 = 5 − 4t ⇒ t = 1.

Thay t = 1 vào phương trình x = −9 + 8t, ta được: x = −9 + 8. 1 = −1.

Vậy P = (−1; 1).

Vận dụng 1 trang 48 Toán lớp 10 Tập 2:  Một trò chơi đua xe ô tô vượt sa mạc trên máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Cho biết một ô tô chuyển động thẳng đều từ điểm M(1; 1) với vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ = (40; 30).

 a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn đường đi của ô tô.

b) Tìm tọa độ của xe ứng với t = 2; t = 4.

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua M(1; 1) nhận vectơ $\overrightarrow{v}$  = (40; 30) làm vectơ chỉ phương.

Khi đó phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+40t\\ y=1+30t\end{array}\right.$

b) Thay t = 2 vào phương trình đường thẳng d : $\left\{\begin{array}{l}x=1+40t\\ y=1+30t\end{array}\right.$ , ta được:

 $\left\{\begin{array}{l}x=1+40.2\\ y=1+30.2\end{array}\right.$⇒ $\left\{\begin{array}{l}x=81\\ y=61\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của xe tương ứng với t = 2 là (81 ; 61).

Thay t = 4 vào phương trình đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1+40t\\ y=1+30t\end{array}\right.$, ta được:

 $\left\{\begin{array}{l}x=1+40.4\\ y=1+30.4\end{array}\right.$⇒ $\left\{\begin{array}{l}x=161\\ y=121\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của xe tương ứng với t = 4 là (161 ; 121).

Hoạt động khám phá 3 trang 48 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (a; b) làm vectơ pháp tuyến. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc Δ, chứng tỏ rằng điểm M(x; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình:

a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0 hay ax + by + c = 0 (với c = −ax₀ – by₀)

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{n}$ = (a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ ⇒ $\overrightarrow{u}$ = (b; −a) là vectơ chỉ phương của Δ.

Suy ra phương trình tham số của Δ đi qua M₀(x₀;y₀) nhận $\overrightarrow{u}$ = (b; −a) làm vectơ chỉ phương là $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+bt\\ y=y_0-at\end{array}\right.$ .

Vì M thuộc Δ nên tọa độ của M thoả mãn $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+bt\\ y=y_0-at\end{array}\right.$ .

Xét hệ  $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+bt\left(1\right)\\ y=y_0-at\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) suy ra x – x₀ = bt ⇒ t = $\frac{x-x_0}{b}$  (với b ≠ 0)

Thay t = $\frac{x-x_0}{b}$  vào y = y₀ – at ta được :

y – y₀ + a. $\frac{x-x_0}{b}$  = 0 ⇔ a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0

⇔ ax + by + c = 0 (với c = −ax₀ – by₀).

Vậy M(x; y) thuộc Δ thì M có tọa độ thỏa mãn phương trình:

a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0 hay ax + by + c = 0 (với c = −ax₀ – by₀)

Thực hành 2 trang 49 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

a) Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (3; 5);

b) Đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; − 7)

c) Đường thẳng Δ đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3)

Lời giải:

a) Đường thẳng Δ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$  = (3; 5) nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (5; −3).

Khi đó phương trình tổng quát của Δ là 3(x – 1) + 5(y – 1)  = 0 ⇔ 3x + 5y – 8 = 0 

Phương trình tham số của Δ là $\left\{\begin{array}{l}x=1+5t\\ y=1-3t\end{array}\right.$ .

Vậy phương trình tổng quát của Δ là 3x + 5y −8 = 0 và phương trình tham số của Δ là $\left\{\begin{array}{l}x=1+5t\\ y=1-3t\end{array}\right.$ .

b) Đường thẳng Δ đi qua O(0; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; −7) ⇒ vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$  = (7; 2)

Ta có phương trình tham số của Δ là: $\left\{\begin{array}{l}x=0+2t\\ y=0-7t\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=-7t\end{array}\right.$

Phương trình tổng quát của Δ là 7(x – 0) + 2(y – 0) = 0 ⇔ 7x + 2y = 0.

Vậy phương trình tham số của Δ là $\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=-7t\end{array}\right.$ ; phương trình tổng quát của Δ là 7x + 2y = 0.

c) Đường thẳng Δ đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3) nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{MN}$ = (−4; 3) ⇒ vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (3; 4).

Phương trình tham số của Δ là: $\left\{\begin{array}{l}x=4-4t\\ y=0+3t\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=4-4t\\ y=0+3t\end{array}\right.$

Phương trình tổng quát của Δ là: 3(x − 4) + 4(y − 0) = 0 ⇔ 3x + 4y − 12 = 0.

Vậy phương trình tham số của Δ là $\left\{\begin{array}{l}x=4-4t\\ y=0+3t\end{array}\right.$ ; phương trình tổng quát của Δ là 3x + 4y − 12 = 0.

Vận dụng 2 trang 49 Toán lớp 10 Tập 2: Một người đang lập trình một trò chơi trên máy tính. Trên màn hình máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Người đó viết lệnh để một điểm M(x; y) từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ = (3; −4).

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng Δ biểu diễn đường đi của điểm M.

b) Tìm tọa độ của điểm M khi Δ cắt trục hoành.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{v}$ = (3; −4) là vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ ⇒ $\overrightarrow{n}$ = (4; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 2) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (4; 3) là vectơ pháp tuyến là:

4(x − 1) + 3(y − 2) = 0 ⇔ 4x + 3y − 10 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng Δ là 4x + 3y − 10 = 0.

b) Điểm M là giao điểm của đường thẳng Δ và trục hoành, nên tọa độ của M thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}4x+3y-10=0\\ y=0\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\\ y=0\end{array}\right.$  ⇒ $M\left(\frac{5}{2};0\right)$

Vậy giao điểm của đường thẳng Δ và trục hoành là $M\left(\frac{5}{2};0\right)$ .

Thực hành 3 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm các hàm số bậc nhất có đồ thị là các đường thẳng trong Thực hành 2.

Lời giải:

a) Ta có: 3x + 5y − 8 = 0 ⇔ y = $-\frac{3}{5}$ x + $\frac{8}{5}$ .

Vậy hàm số bậc nhất của Δ là: y = $-\frac{3}{5}$ x + $\frac{8}{5}$ .

b) Ta có: 7x + 2y = 0 ⇔ y = $-\frac{7}{2}$ x

Vậy hàm số bậc nhất của Δ là: y = $-\frac{7}{2}$ x.

c) Ta có: 3x + 4y − 12= 0 ⇔ y = $-\frac{3}{4}$ x + 3

Vậy hàm số bậc nhất của Δ là: y = $-\frac{3}{4}$ x + 3.

Vận dụng 3 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2: Một người bắt đầu mở một vòi nước. Nước từ vòi chảy với tốc độ là 2 m³/h vào một cái bể đã chứa sẵn 5 m³ nước.

a) Viết biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ.

b) Gọi y = f(x) là hàm số xác định được từ câu a). Vẽ đồ thị d của hàm số này.

c) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quả của đường thẳng d.

Lời giải:

a) Nước từ vòi chảy với tốc độ là 2 m³/h nên sau x giờ thì số nước chảy vào bể là 2x (m³/h).

Vì trong bể chứa sẵn 5 m³ nước nên sau x giờ số nước trong bể là 2x + 5 (m³).

Vậy biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ là: y =2x + 5.

b) Đồ thị d của hàm số y = 2x + 5 là đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(-\frac{5}{2};0\right)$  và B(0; 5) nên ta có hình vẽ sau:

c) Ta có: y = 2x + 5 ⇔ 2x – y + 5 = 0

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d là 2x – y + 5 = 0

Ta có d nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; −1) là vectơ pháp tuyến nên $\overrightarrow{u}$ = (1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(0; 5) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (1; 2) là vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=5+2t\end{array}\right.$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=5+2t\end{array}\right.$ ; phương trình tổng quát của d là: 2x – y + 5 = 0.

Hoạt động khám phá 4 trang 51 Toán lớp 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ .

Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa Δ₁ và Δ₂ trong các trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương (Hình 5a, b);

b) $\overrightarrow{n_1}$ và  $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương (Hình 5c, d);

c) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ vuông góc (Hình 5d)

Lời giải:

a) $\overrightarrow{n_1}$ và  $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương (Hình 5a) ta thấy Δ₁ và Δ₂ song song với nhau.

$\overrightarrow{n_1}$ và  $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương (Hình 5b) ta thấy Δ₁ và Δ₂ trùng nhau.

Vậy $\overrightarrow{n_1}$  và  $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương thì Δ₁ song song hoặc trùng với Δ₂.

b) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$  không cùng phương (Hình 5c, d) thì ta thấy Δ₁ và Δ₂ cắt nhau.

Vậy nếu $\overrightarrow{n_1}$  và  $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương thì Δ₁ và Δ₂ cắt nhau.

c) Ta thấy, nếu $\overrightarrow{n_1}$  và $\overrightarrow{n_2}$  vuông góc (Hình 5d) thì Δ₁ và Δ₂ cắt nhau và vuông góc với nhau.

Vậy $\overrightarrow{n_1}$  và $\overrightarrow{n_2}$  vuông góc thì Δ₁ và Δ₂ cắt nhau và vuông góc với nhau.

Thực hành 4 trang 53 Toán lớp 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

a) d₁: x − 5y + 9 = 0 và d₂: 10x + 2y + 7 = 10;

b) d₁: 3x − 4y + 9 = 0 và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=1+3t\end{array}\right.$

c) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=5+4t\\ y=4+3t\end{array}\right.$  và d₂ : $\left\{\begin{array}{l}x=1+8t\text{'}\\ y=1+6t\text{'}\end{array}\right.$

Lời giải:

a) Đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ = (1; −5) và $\overrightarrow{n_2}$ = (10; 2).

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$ . $\overrightarrow{n_2}$ = 1. 10 + (−5). 2 = 0 nên $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là hai vectơ vuông góc, suy ra d₁ ⊥ d₂.

Vậy d₁ và d₂ vuông góc với nhau.

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-5y+9=0\\ 10x+2y+7=10\end{array}\right.$  ta được $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{52}\\ y=\frac{93}{52}\end{array}\right.$

Suy ra d₁ và d₂ cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left(-\frac{3}{52};\frac{93}{52}\right)$ .

Vậy d₁ và d₂ vuông góc và cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left(-\frac{3}{52};\frac{93}{52}\right)$ .

b) Ta có:  $\overrightarrow{n_1}$ = (3; −4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁.

$\overrightarrow{u_2}$ = (4; 3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d₂ ⇒ $\overrightarrow{n_2}$ = (3; −4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₂.

Ta có: $\frac{3}{3}=\frac{-4}{-4}(=1)$ suy ra $\overrightarrow{n_1}$  và $\overrightarrow{n_2}$  là hai vectơ cùng phương. Vậy d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 1) thuộc d₂, thay tọa độ của M và phương trình d₁, ta được: 3. 1 − 4. 1 + 9 ≠ 0. Suy ra M ∉ d₂.

Vậy d₁ // d₂.

c) d₁ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}$ = (4; 3); d₂ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}$ = (8; 6);

Suy ra d₁ và d₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ = (3; −4) và $\overrightarrow{n_2}$ = (6; −8).

Ta có:  $\frac{3}{6}=\frac{-4}{-8}\left(=\frac{1}{2}\right)$ suy ra $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$  là hai vectơ cùng phương. Vậy d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 1) thuộc d₂, thay tọa độ của M và phương trình d₁, ta được:

$\left\{\begin{array}{l}1=5+4t\\ 1=4+3t\end{array}\right.$ ⇔ t = −1 (thỏa mãn).

Suy ra M ∈ d_1.

Vậy d₁ và d₂ trùng nhau.

Vận dụng 4 trang 53 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình đường thẳng d₁:

a) Đi qua điểm A(2; 3) và song song với đường thẳng d₂: x + 3y + 2 = 0;

b) Đi qua điểm B(4; −1) và vuông góc với đường thẳng d₃: 3x − y + 1 = 0.

Lời giải:

a) Vì d₁ song song với d₂: x + 3y + 2 = 0 nên d₁ nhận $\overrightarrow{n}$  = (1; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng d₁ đi qua điểm A(2; 3) và nhận  $\overrightarrow{n}$ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến là:

(x − 2) + 3(y − 3) = 0 ⇔ x + 3y − 11 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng d₁ là x + 3y − 11 = 0.

b) Vì d₁ vuông góc với d₃: 3x − y + 1 = 0 nên d₁ nhận $\overrightarrow{n_3}$ = (3; −1) là vectơ chỉ phương.

Do đó d₁ nhận $\overrightarrow{n}$  = (1; 3) làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó phương trình đường thẳng d₁ đi qua điểm B(4; −1) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến là: (x − 4) + 3(y  + 1) = 0 ⇔ x + 3y − 1 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng d₁ là x + 3y − 1 = 0.

Hoạt động khám phá 5 trang 53 Toán lớp 10 Tập 2:  Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết $\widehat{xOz}={38}^o$  (Hình 6). Tính số đo các góc $\widehat{xOt}$ , $\widehat{tOy}$ , $\widehat{yOz}$ .

Lời giải:

Hoạt động khám phá 6 trang 54 Toán lớp 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng

Δ₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 (a₁² + b₁² > 0) và Δ₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 (a₂² + b₂² > 0)

có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ và  $\overrightarrow{n_2}$.

Tìm tọa độ của  $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ và tính cos( $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ ).

Lời giải:

Ta có: Δ₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 ⇒ $\overrightarrow{n_1}$ = (a₁; b₁).

Δ₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 ⇒ $\overrightarrow{n_2}$  = (a₂; b₂).

Ta có $\overrightarrow{n_1}$ . $\overrightarrow{n_2}$ = $\left|\overrightarrow{n_1}\right|$ . $\left|\overrightarrow{n_2}\right|$ . cos( $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ ) ⇒ cos( $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ ) = $\frac{\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}$  = $\frac{a_1.a_2+b_1.b_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$ .

Vậy $\overrightarrow{n_1}$ = (a₁; b₁) và $\overrightarrow{n_2}$  = (a₂; b₂) và cos( $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ ) = $\frac{\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}$  = $\frac{a_1.a_2+b_1.b_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$ .

Thực hành 5 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ trong các trường hợp sau:

a) Δ₁: x + 3y − 7 = 0 và Δ₂: x − 2y + 3 = 0

b) Δ₁: 4x − 2y + 5 = 0 và Δ₂: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=13+2t\end{array}\right.$

c) Δ₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+2t\end{array}\right.$  và Δ₂: $\left\{\begin{array}{l}x=-7+2t\text{'}\\ y=1-t\text{'}\end{array}\right.$

Lời giải:

a) Ta có: Δ₁: x + 3y − 7 = 0 ⇒ $\overrightarrow{n_1}$  = (1; 3).

Δ₂: x − 2y + 3 = 0 ⇒ $\overrightarrow{n_2}$ = (1; −2).

Khi đó cos(Δ₁, Δ₂) = $\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}$ = $\frac{|1.1+3.(-2\left)\right|}{\sqrt{1^2+3^2}.\sqrt{1^2+{(-2)}^2}}$  = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇒ (Δ₁, Δ₂) = 45°.

Vậy góc giữa Δ₁ và Δ₂ bằng 45°.

b) Đường thẳng Δ₁ nhận $\overrightarrow{n_1}$ = (4; −2) là vectơ pháp tuyến ⇒ $\overrightarrow{u_1}$ = (2; 4) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng Δ₂  nhận vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}$ = (1; 2).

Ta thấy $\overrightarrow{u_1}$ = 2 $\overrightarrow{u_2}$⇒  $\overrightarrow{u_1}$ và  $\overrightarrow{u_2}$ cùng phương

⇒ (Δ₁, Δ₂) = 0°.

Vậy góc giữa Δ₁ và Δ₂ bằng 0°.

c) Hai đường thẳng Δ₁, Δ₂ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}$ = (1; 2) và $\overrightarrow{u_2}$ = (2; −1).

Ta có: $\overrightarrow{u_1}$ . $\overrightarrow{u_2}$  = 1. 2 + 2. (−1) = 0 ⇒ $\overrightarrow{u_1}$ ⊥ $\overrightarrow{u_2}$ . Do đó, (Δ₁, Δ₂) = 90°.

Vậy góc giữa Δ₁ và Δ₂ bằng 90°.

Vận dụng 5 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hàm số y = x và y = 2x + 1.

Lời giải:

Ta có: y = x ⇔ x − y  = 0 và y = 2x + 1 ⇔ 2x − y + 1 = 0

⇒ Phương trình đường thẳng của đồ thị hàm số y = x là d₁: x − y = 0 ⇒ vectơ pháp tuyến của d₁ là $\overrightarrow{n_1}$ = (1; −1).

Phương trình đường thẳng của đồ thị hàm số y = 2x + 1 là d₂: 2x − y + 1 = 0 ⇒ vectơ pháp tuyến của d₂ là $\overrightarrow{n_2}$ = (2; −1).

⇒ cos(d₁, d₂) = $\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}$  = $\frac{|1.2+(-1).(-1\left)\right|}{\sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{2^2+{(-1)}^2}}$  = $\frac{3}{\sqrt{10}}$

⇒ (d₁, d₂) = 18°26′.

Vậy góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hàm số y = x và y = 2x + 1 bằng 18°26′.

Hoạt động khám phá 7 trang 56 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 (a² + b² > 0) có vectơ pháp tuyến  $\overrightarrow{n}$ và cho điểm M₀(x₀;y₀) có hình chiếu vuông góc H(x_H,y_H) trên Δ (Hình 9).

a) Chứng minh rằng hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$ cùng phương và tìm tọa độ của chúng.

b) Gọi p là tích vô hướng của hai vectơ   và  $\overrightarrow{H{M}_0}$. Chứng minh rằng p = ax₀ + by₀ + c.

c) Giải thích công thức |$\overrightarrow{H{M}_0}$ | = $\frac{\left|p\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$.

Lời giải:

a)  $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 nên $\overrightarrow{n}$ ⊥ Δ   (1)

Vì H là chân đường vuông góc hạ từ M₀ xuống Δ nên M₀H ⊥ Δ     (2)

Từ (1) và (2) ⇒ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$ cùng phương.

Ta có: $\overrightarrow{n}$ = (a; b), $\overrightarrow{H{M}_0}$ = (x₀−x_H;y₀−y_H).

Vậy $\overrightarrow{n}$  và  $\overrightarrow{H{M}_0}$ cùng phương và $\overrightarrow{n}$  = (a; b), $\overrightarrow{H{M}_0}$ = (x₀ − x_H; y₀ − y_H).

b) Vì H ∈ Δ nên ax_H + by_H + c = 0 ⇒ c = −ax_H – by_H

c) Vì $\overrightarrow{n}$ cùng phương với $\overrightarrow{H{M}_0}$ nên  $\overrightarrow{H{M}_0}$ = t $\overrightarrow{n}$.

Thực hành 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1; 1), B(5; 2), C(4; 4). Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (4; 1), $\overrightarrow{AC}$ = (3; 3), $\overrightarrow{BC}$ = (−1; 2)

Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 1) và nhận $\overrightarrow{AB}$ = (4; 1) làm vectơ chỉ phương nên nhận vectơ $\overrightarrow{n_1}$ =(1; −4) làm vectơ pháp tuyến là:

1(x − 1) − 4(y − 1) = 0 ⇔ x − 4y + 3 = 0

Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(1; 1) và nhận  $\overrightarrow{AC}$ = (3; 3) làm vectơ chỉ phương nên nhận  $\overrightarrow{n_2}$= (3; −3) làm vectơ pháp tuyến là:

3(x − 1) − 3(y − 1) = 0 ⇔ x − y = 0

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm C(4; 4) và nhận  $\overrightarrow{BC}$ =(−1; 2) làm vectơ chỉ phương nên nhận  $\overrightarrow{n_3}$ = (2; 1) làm vectơ pháp tuyến là:

2(x − 4) + (y − 4) = 0 ⇔ 2x + y − 12 = 0

Độ dài đường cao hạ từ A xuống BC là: d(A; BC) = $\frac{|2.1+\text{ 1 }-12|}{\sqrt{{(-1)}^2+2^2}}$  = $\frac{9}{\sqrt{5}}$ .

Độ dài đường cao hạ từ B xuống AC là: d(B; AC) = $\frac{|5-2|}{\sqrt{1^2+{(-1)}^2}}$ = $\frac{3}{\sqrt{2}}$ .

Độ dài đường cao hạ từ C xuống AB là: d(C; AB) = $\frac{|4-4.4+3|}{\sqrt{1^2+{(-4)}^2}}$ = $\frac{9}{\sqrt{17}}$ .

Vậy độ dài các đường cao của tam giác ABC lần lượt là: $\frac{9}{\sqrt{5}}$ , $\frac{3}{\sqrt{2}}$ , $\frac{9}{\sqrt{17}}$ .

Vận dụng 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁: 4x − 3y + 2 = 0 và d₂: 4x − 3y + 12 = 0.

Lời giải:

Hai đường thẳng d₁: 4x − 3y + 2 = 0 và d₂: 4x − 3y + 12 = 0 đều có vectơ pháp tuyến là : $\overrightarrow{n}$  = (4 ; −3)

Suy ra d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy A(0; 4) ∈ d₂. Thay tọa độ của A vào d₁ ta có: 4.0 – 3.4 + 2 = −10 ≠ 0 ⇒ A ∉ d₁.

Vậy d₁ và d₂ song song với nhau.

Khi đó khoảng cách từ A đến d₁ chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂.

Ta có d(A, d₁) = $\frac{|4.0-3.4+2|}{\sqrt{4^2+{(-3)}^2}}$  = $\frac{10}{5}$  = 2.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 2.

Bài tập 1 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm A(−1; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; 1)

b) d đi qua điểm B(4; −2) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (3; −2)

c) d đi qua P(1; 1) và có hệ số góc k = −2

d) d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2)

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{u}$  = (2; 1) là vectơ chỉ phương của d nên d nhận $\overrightarrow{n}$  = (1; −2) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(−1; 5) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (2; 1) là vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=5+t\end{array}\right.$

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(−1; 5) và nhận $\overrightarrow{n}$   = (1; −2) là vectơ pháp tuyến là: 1(x + 1) −2(y − 5) = 0 ⇔ x − 2y + 11 = 0

Vậy phương trình tham số của d là  $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=5+t\end{array}\right.$; phương trình tổng quát của d là x − 2y + 11 = 0

b) Phương trình tổng quát của d đi qua B(4; −2) và nhận $\overrightarrow{n}$  = (3; −2) là vectơ pháp tuyến là: 3(x − 4) − 2(y + 2) = 0 ⇔ 3x − 2y – 16 = 0.

Ta có $\overrightarrow{n}$ = (3; −2) là vectơ pháp tuyến của d nên d nhận $\overrightarrow{u}$  = (2; 3) là vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d đi qua B(4; −2) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (2; 3) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=4+2t\\ y=-2+3t\end{array}\right.$

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 3x − 2y – 16 = 0; phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=4+2t\\ y=-2+3t\end{array}\right.$

c) Ta có: d là đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + b

Vì hệ số góc k = −2 nên ta có: y = −2x + b

Lại có d đi qua P(1; 1) nên thay tọa độ P vào hàm số bậc nhất ta được: 1 = −2. 1 + b ⇒ b = 3 

⇒ Phương trình tổng quát của d là: y = −2x + 3 ⇔ 2x + y − 3 = 0.

Ta có: d nhận  $\overrightarrow{n}$ = (2; 1) là vectơ pháp tuyến ⇒ $\overrightarrow{u}$  = (1; −2) là vectơ chỉ phương của d.

⇒ Phương trình tham số của d đi qua P(1; 1) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (1; −2) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1-2t\end{array}\right.$

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 2x + y − 3 = 0; phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1-2t\end{array}\right.$

d) Ta có: $\overrightarrow{QR}$ = (−3; 2) là vectơ chỉ phương của d ⇒ d nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của d đi qua Q(3; 0) và nhận $\overrightarrow{QR}$ = (−3; 2) làm vectơ chỉ phương là:

Phương trình tổng quát của d đi qua Q(3; 0) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; 3) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x − 3) + 3(y − 0) = 0 ⇔ 2x + 3y – 6 = 0.

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 2x + 3y – 6 = 0; phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=3-3t\\ y=2t\end{array}\right.$ .

Bài tập 2 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4).

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b) Lập phương trình tham số của trung tuyến AM

c) Lập phương trình của đường cao AH.

Lời giải:

a) Ta có  $\overrightarrow{BC}$ = (4; 2) ⇒ đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; −4) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng BC đi qua B(1; 2) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; −4) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x − 1) − 4(y − 2)  = 0 ⇔ 2x − 4y + 6 = 0 ⇔ x − 2y + 3 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là x − 2y + 3 = 0.

b) Ta có M là trung điểm của BC ⇒ M( $\frac{1+5}{2}$; $\frac{2+4}{2}$ ) ⇒ M(3; 3)

Phương trình tham số của trung tuyến AM đi qua A(2; 5) và nhận $\overrightarrow{AM}$ = (1; −2) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=5-2t\end{array}\right.$

Vậy phương trình tham số của trung tuyến AM là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=5-2t\end{array}\right.$ .

c) Phương trình đường cao AH đi qua A(2; 5) và nhận $\overrightarrow{BC}$ = (4; 2) là vectơ pháp tuyến là: 4(x − 2) + 2(y − 5) = 0 ⇔ 4x + 2y – 18 = 0 ⇔ 2x + y – 9 = 0.

Vậy phương trình dường cao AH là: 2x + y – 9 = 0.

Bài tập 3 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2:  Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:

a) Δ đi qua A(2; 1) và song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0;

b) Δ đi qua B(−1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x – y – 2 = 0.

Lời giải:

a) Vì Δ song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0 nên Δ nhận $\overrightarrow{n}$ = (3; 1) làm vectơ pháp tuyến và  $\overrightarrow{u}$ = (1; −3) làm vectơ chỉ phương.

⇒ Phương trình tổng quát đường thẳng Δ đi qua A(2; 1) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (3; 1) làm vectơ pháp tuyến là: 3(x − 2) + 1(y − 1) = 0 ⇔  3x + y – 7 = 0.

Phương trình tham số của Δ đi qua A(2; 1) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (1; −3) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-3t\end{array}\right.$ .

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng Δ là 3x + y – 7 = 0; phương trình tham số của Δ là $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-3t\end{array}\right.$ .

b) Vì Δ vuông góc với đường thẳng 2x − y − 2 = 0 nên Δ nhận  $\overrightarrow{u}$ = (2; −1) làm vectơ chỉ phương và $\overrightarrow{n}$ = (1; 2) làm vectơ pháp tuyến.

⇒ Phương  trình tổng quát đường thẳng Δ đi qua B(−1; 4) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (1; 2) làm vectơ pháp tuyến là:  1(x +  1)  + 2(y − 4) = 0 ⇔  x + 2y – 7 = 0.

Phương trình tham số của Δ đi qua B(−1; 4) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (2; −1) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=4-t\end{array}\right.$ .

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng Δ là x + 2y – 7 = 0; phương trình tham số của Δ là $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=4-t\end{array}\right.$ .

Bài tập 4 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ sau đây:

a) d₁: x − y + 2 = 0 và d₂: x + y + 4 = 0

b) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+5t\end{array}\right.$  và d₂: 5x − 2y  + 9 = 0

c) d₁:  $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ và d₂: 3x + y – 11 = 0.

Lời giải:

a) Ta có d₁ và d₂ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ = (1; −1) và $\overrightarrow{n_2}$ = (1; 1).

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$ . $\overrightarrow{n_2}$ = 1. 1 + 1. (−1) = 0 ⇒  $\overrightarrow{n_1}$ ⊥ $\overrightarrow{n_2}$. Do đó d₁ ⊥ d₂.

Tọa độ M là giao điểm của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x-y+2=0\\ x+y+4=0\end{array}\right.$  ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-1\end{array}\right.$  ⇒ M(−3; −1).

Vậy d₁ vuông góc với d₂ và cắt nhau tại M(−3; −1).

b) Ta có $\overrightarrow{u_1}$ = (2; 5) là vectơ chỉ phương của d₁ ⇒ $\overrightarrow{n_1}$ = (5; −2) là vectơ pháp tuyến của d₁.

Ta có : $\overrightarrow{n_2}$ = (5; −2) là vectơ pháp tuyến của d₂.

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$ = $\overrightarrow{n_2}$ . Do đó, d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 3) ∈ d₁, thay tọa độ của M vào phương trình d₂, ta được:

5. 1 − 2. 3 + 9 = 0 ⇔ 8 = 0 (vô lí)

⇒ M ∉ d₂. 

Vậy d₁ // d₂.

c) Ta có $\overrightarrow{u_1}$  = (−1; 3) là vectơ chỉ phương của d₁ ⇒ $\overrightarrow{n_1}$  = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của d₁.

Ta có: $\overrightarrow{n_2}$ = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của d₂.

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$ = $\overrightarrow{n_2}$ . Do đó, d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm N(2; 5) ∈ d₁, thay tọa độ của N vào phương trình d₂, ta được: 3. 2 + 5 − 11 = 0.

⇒ N ∈ d₂.     

Vậy d₁ trùng d₂.            

Bài tập 5 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ . Tìm giao điểm của d với hai trục tọa độ.

Lời giải:

Giao điểm A của d và trục Ox là nghiệm của hệ phương trình:  $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{5}{3}=\frac{11}{3}\\ t=-\frac{5}{3}\end{array}\right.$  ⇒ $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{11}{3}\\ y=0\end{array}\right.$

⇒ $A\left(\frac{11}{3};0\right)$

Giao điểm B của d và trục Oy là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}0=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}t=2\\ y=11\end{array}\right.$

⇒ $\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=11\end{array}\right.$

⇒ B(0; 11).

Vậy d cắt hai trục tọa độ tại các điểm  $A\left(\frac{11}{3};0\right)$ và  B(0; 11).

Bài tập 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

a) d₁: x − 2y + 3 = 0 và d₂: 3x − y − 11 = 0;

b) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3+5t\end{array}\right.$ và d₂: x + 5y – 5 = 0 ;

c) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=7+4t\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=t\text{'}\\ y=-9+2t\text{'}\end{array}\right.$ .

Lời giải:

a) d₁: x − 2y + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$  =(1 ; −2) ; d₂: 3x − y − 11 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}$=(3; −1).

Khi đó cos(d₁, d­₂) = $\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}$ = $\frac{\left|1.3+(-2).(-1)\right|}{\sqrt{1^2+{(-2)}^2}.\sqrt{3^2+{(-1)}^2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇒ (d₁, d₂) = 45°.

Vậy số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 45°.

b) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3+5t\end{array}\right.$  có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}$  = (1; 5) nên vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$  = (5; −1).

d₂: x + 5y – 5 = 0  có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}$ = (1; 5)

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$ . $\overrightarrow{n_2}$  = 5. 1 + (−1). 5 = 0 ⇒  $\overrightarrow{n_1}$ ⊥ $\overrightarrow{n_2}$  ⇒ (d₁, d₂) = 90°.

Vậy số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 90°.

c) Hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}$  = (2; 4) và  $\overrightarrow{u_2}$ = (1; 2).

Ta có: $\overrightarrow{u_1}$  = 2$\overrightarrow{u_2}$  ⇒  $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$  cùng phương.

⇒ d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau

⇒ (d₁, d₂) = 0°.

Vậy số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 0°.

Bài tập 7 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

a) M(1; 2) và Δ: 3x − 4y + 12 = 0;       

b) M(4; 4) và Δ: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\end{array}\right.$ ;

c) M(0; 5) và Δ: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-\frac{19}{4}\end{array}\right.$

d) M(0; 0) và Δ: 3x + 4y – 25 = 0.

Lời giải:

a) Ta có: d(M; Δ) = $\frac{\left|3.1-4.2+12\right|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}$ = $\frac{7}{5}$ .

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là $\frac{7}{5}$ .

b) Δ: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\end{array}\right.$ đi qua điểm O(0; 0) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ =(1; −1) nên nhận vectơ $\overrightarrow{n}$ =(1; 1) làm vectơ pháp tuyến.

 Khi đó, phương trình tổng quát của Δ đi qua điểm O(0; 0) và nhận $\overrightarrow{n}$= (1; 1) làm vectơ pháp tuyến là: x + y = 0

d(M; Δ) = $\frac{\left|4+4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}$ = $\frac{8}{\sqrt{2}}$

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là $\frac{8}{\sqrt{2}}$ .

c) Δ:  $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-\frac{19}{4}\end{array}\right.$ đi qua điểm A(0; $-\frac{19}{4}$ ) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$  = (1; 0) nên nhận vectơ $\overrightarrow{n}$  = (0; 1) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của Δ đi qua điểm A(0; $-\frac{19}{4}$ ) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (0; 1) làm vectơ pháp tuyến là:  0(x − 0) + (y + $\frac{19}{4}$ ) = 0 ⇔ y + $\frac{19}{4}$  = 0.

d(M; Δ) =  $\frac{\left|5+\frac{19}{4}\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}$ = $\frac{39}{4}$

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là $\frac{39}{4}$ .

d) Đường thẳng Δ: 3x + 4y – 25 = 0 nhận $\overrightarrow{n}$  = (3 ; 4) làm vectơ pháp tuyến

Khi đó  d(M; Δ) = $\frac{\left|3.0+4.0–25\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}$  = $\frac{25}{5}$  = 5.

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là 5.

Bài tập 8 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

Δ: 3x + 4y – 10 = 0

Δ′: 6x + 8y – 1 = 0.

Lời giải:

Δ: 3x + 4y – 10 = 0 có $\overrightarrow{n}$  = (3; 4) là vectơ pháp tuyến.

Δ′: 6x + 8y – 1 = 0 có $\overrightarrow{n\text{'}}$  = (6; 8) là vectơ pháp tuyến.