Giải bài tập Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Hoạt động khám phá 1 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).

a) Tính $\widehat{IDC}$.

b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C.

c) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng $\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{AB}$.

Lời giải:

a) Hình vuông ABCD có tâm I nên IA = IB = IC = ID và AC $\perp$ BC tại I.

Do đó tam giác IDC vuông cân tại I.

Khi đó $\widehat{I\text{D}C}$ = 45^o.

b) Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là I là vectơ $\overrightarrow{DI}$.

Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là C là vectơ $\overrightarrow{DC}$.

c) Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ $\overrightarrow{IB}$ là vectơ $\overrightarrow{DI}$.

Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ $\overrightarrow{DC}$.

Thực hành 1 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có H là trung điểm của cạnh BC. Tìm các góc: $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right),\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right),\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC}\right),\left(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{BC}\right)$,$\left(\overrightarrow{HB},\overrightarrow{BC}\right)$.

Lời giải:

Dựng hình bình hành ABCD.

Do tam giác ABC đều nên $\widehat{BAC}$ = 60^o, do đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ = 60^o.

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A\text{D}}$.

Do đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\text{D}}\right)$.

Do ABCD là hình bình hành nên $\widehat{ABC}+\widehat{BA\text{D}}=180°$.

Do đó $\widehat{BA\text{D}}=180°-\widehat{ABC}$ = 180^o - 60^o = 120^o.

Khi đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\text{D}}\right)$ = 120^o hay $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)$ = 120^o.

Tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC nên AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao trong tam giác ABC.

Do đó AH $\perp$ BC nên $\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC}\right)$ = 90^o.

Hai vectơ $\overrightarrow{BH}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng nên $\left(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{BC}\right)$ = 0^o.

Hai vectơ $\overrightarrow{HB}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng nên $\left(\overrightarrow{HB},\overrightarrow{BC}\right)$ = 180^o.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Hoạt động khám phá 2 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ kéo môt chiếc xe đi quãng đường dài 100 m. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$, biết rằng góc giữa vectơ $\overrightarrow{F}$ và hướng di chuyển là 45°. (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực $\overrightarrow{F}$, độ dài quãng đường và côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{F}$ và độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$).

Lời giải:

Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng:

$\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{d}\right|.\cos \left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{d}\right)$ = 10 . 100 . cos 45^o ≈ 707 J.

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ khoảng 707 J.

Thực hành 2 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh huyền bằng $\sqrt{2}$. Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$.

Lời giải:

Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AB $\perp$ AC.

Do đó $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông cân tại A ta có:

AB² + AC² = BC²

$\Rightarrow$2AB² = 2

$\Rightarrow$ AB² = 1

$\Rightarrow$ AB = 1 (do AB là độ dài đoạn thẳng nên AB > 0)

Tam giác vuông cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ = 45^o.

Ta có $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CA}.\left(-\overrightarrow{CB}\right)=\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$.

$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=\left|\overrightarrow{CA}\right|.\left|\overrightarrow{CB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}\right)$ = 1 . $\sqrt{2}$ . cos $\widehat{ACB}$ = 1 . $\sqrt{2}$ . cos 45^o = 1.

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}$ = 1.

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\left|\overrightarrow{BA}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)$ = 1 . $\sqrt{2}$ . cos $\widehat{ABC}$ = 1 . $\sqrt[]{2}$ . cos 45^o = 1.

Do đó $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ = 1.

Thực hành 3 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có độ dài lần lượt là 3 và 8 và có tích vô hướng là $12\sqrt{2}$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=12\sqrt{2}$

$\Rightarrow$ 3 . 8 . $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=12\sqrt{2}$

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 45^o.

Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng 45°.

Vận dụng 1 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với $\overrightarrow{F}$. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$.

Lời giải:

Do vật dịch chuyển cùng hướng với $\overrightarrow{F}$ nên góc tạo bởi vectơ hướng di chuyển của vật và $\overrightarrow{F}$ bằng 0^o.

Khi đó công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng:

20 . 50 . cos 0^o = 1 000 J.

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng 1 000 J.

3. Tính chất của tích vô hướng

Thực hành 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.

a) Tính: ${\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)}^2;{\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)}^2;\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right).\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)$.

b) Cho $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j},\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ và tính góc $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Lời giải:

Do hai vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ vuông góc nên $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{j}\right|cos90°=0$.

a) Ta có ${\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)}^2={\overrightarrow{i}}^2+2\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+{\overrightarrow{j}}^2={\left|\overrightarrow{i}\right|}^2+2\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{j}\right|.cos90°+{\left|\overrightarrow{j}\right|}^2$ = 1² + 2 . 0 + 1² = 2.

${\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)}^2={\overrightarrow{i}}^2-2\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+{\overrightarrow{j}}^2={\left|\overrightarrow{i}\right|}^2-2\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{j}\right|.cos90°+{\left|\overrightarrow{j}\right|}^2$ = 1² - 2 . 0 + 1² = 2.

$\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right).\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)={\overrightarrow{i}}^2-{\overrightarrow{j}}^2$ =  ${\left|\overrightarrow{i}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{j}\right|}^2$= 1² - 1² = 0.

b) $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}=2\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)$; $\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}=3\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)$.

Do đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right).3\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)=6\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)$ = 6 . 0 = 0.

Khi đó cos $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$= 0 (do $\left|\overrightarrow{a}\right|$ > 0 và $\left|\overrightarrow{b}\right|$ > 0).

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 90^o.

Vận dụng 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Phân tử sulfur dioxide (SO₂) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết $\widehat{OSO}$ gần bằng 120°. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ $\overrightarrow{{\mu }_1}$ và $\overrightarrow{{\mu }_2}$ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và cùng có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng $\overrightarrow{\mu }=\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}$ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO₂. Tính độ dài của $\overrightarrow{\mu }$.

Lời giải:

Do $\overrightarrow{\mu }=\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}$ nên $\left|\overrightarrow{\mu }\right|=\left|\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}\right|$.

Ta có ${\left|\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}\right|}^2={\left(\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}\right)}^2={\overrightarrow{{\mu }_1}}^2+2\overrightarrow{{\mu }_1}.\overrightarrow{{\mu }_2}+{\overrightarrow{{\mu }_2}}^2$

$=1,6^2+2\left|\overrightarrow{{\mu }_1}\right|.\left|\overrightarrow{{\mu }_2}\right|.\cos \left(\overrightarrow{{\mu }_1},\overrightarrow{{\mu }_2}\right)+1,6^2$

= 1,6² + 2 . 1,6 . 1,6 . cos 120^o + 1,6²

= 2,56

Do đó $\left|\overrightarrow{\mu }\right|=\left|\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}\right|=\sqrt{2,56}$ = 1,6.

Vậy độ dài của $\overrightarrow{\mu }$ bằng 1,6 đơn vị.

Bài tập

Bài 1 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A\text{D}}$, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{\text{CB}}$,$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{\text{BD}}$.

Lời giải:

AC là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có cạnh bằng a nên

AC = $\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$.

Ta có ABCD là hình vuông nên AC = BD = $\sqrt{2}a$.

Vì AB $\perp$ AD nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{A\text{D}}$ ⇒ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A\text{D}}$ = 0.

Tam giác ABC vuông cân tại B nên $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}$ = 45^o.

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ = a . $\sqrt{2}a$. cos $\widehat{BAC}$ = $\sqrt{2}$a² . cos 45^o = a².

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = a².

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{\text{CB}}=-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{\text{CB}}=-\left|\overrightarrow{CA}\right|.\left|\overrightarrow{CB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{\text{CB}}\right)$ 

= -$\sqrt{2}a$ . a . cos $\widehat{BCA}$ = $-\sqrt{2}$a² . cos 45^o = -a².

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{\text{CB}}$ = -a².

Do ABCD là hình vuông nên AC $\perp$ BD.

Do đó $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{B\text{D}}$ nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B\text{D}}=$0.

Bài 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}$

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A\text{D}}$

Lời giải:

a) AC là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông có độ dài hai cạnh lần lượt là 2a và a.

Do đó AC = $\sqrt{{\left(2\text{a}\right)}^2+a^2}=\sqrt{5}a$ (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0).

Hình chữ nhật ABCD có tâm O nên O là trung điểm của AC.

Do đó AO = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{\sqrt{5}a}{2}$.

Tam giác ABC vuông tại B nên $\text{cos}\widehat{BAC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2a}{\sqrt{5}a}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AO}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO}\right)$ = 2a . $\frac{\sqrt{5}a}{2}$ . cos $\widehat{BAO}$ = = 2a . $\frac{\sqrt{5}a}{2}$ . $\frac{2}{\sqrt{5}}$ = 2a².

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}=2a^2$.

b) Do AB $\perp$ AD nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{A\text{D}}$ do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A\text{D}}=0$.

Bài 3 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.

Lời giải:

a)

Do O nằm ngoài đoạn thẳng AB nên hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ cùng hướng.

Do đó $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$ = 0^o.

Khi đó $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\left|\overrightarrow{OA}\right|.\left|\overrightarrow{OB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$ = a . b . cos 0^o = a.b.

b)

Do O nằm trong đoạn thẳng AB nên hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ ngược hướng.

Do đó $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$ = 180^o.

Khi đó $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\left|\overrightarrow{OA}\right|.\left|\overrightarrow{OB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$ = a . b . cos 180^o = -a.b.

Bài 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=M{O}^2-O{A}^2$.

Lời giải:

Do O là trung điểm của AB nên $-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}$.

Khi đó $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right).\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right).\left(\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{OA}\right)$

$={\overrightarrow{MO}}^2-{\overrightarrow{OA}}^2$ = MO² - OA².

Vậy $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ = MO² - OA².

Bài 5 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực $\overrightarrow{F}$ hợp với hướng dịch chuyển một góc 60°. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$.

Lời giải:

Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng: $\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{d}\right|.cos\left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{d}\right)=$ 90 . 100 . cos 60^o = 4 500 J.

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng 4 500 J.

Bài 6 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 và có tích vô hướng là – 6. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Lời giải:

Gọi hai vectơ đó lần lượt là $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Khi đó ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = -6.

$\Rightarrow$ 3 . 4 . $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = -6

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{-1}{2}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 120^o.

Vậy góc giữa hai vectơ đó bằng 120^o.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: