Giải bài tập Toán 10 Bài 1: Không gian mẫu và biến cố 

Hoạt động khám phá 1 trang 77 Toán lớp 10 Tập 2: Ba bạn An, Bình, Cường đang chơi cùng với nhau. An gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối (viết tắt là xúc xắc) hai lần. Nếu kết quả hai lần gieo ra hai mặt có số chấm khác nhau thì Bình thắng. Ngược lại, nếu kết quả hai lần gieo ra hai mặt có số chấm giống nhau thì Cường thắng.

a) Trước khi An gieo con xúc xắc, có thể biết bạn nào sẽ chiến thắng không?

b) Liệt kê các kết quả có thể xảy ra đối với số chấm xuất hiện trong hai lần gieo.

Lời giải:

a) Vì con xúc xắc 6 mặt cân đối nên trước khi gieo ta không thể biết kết quả của lần gieo đó.

Vậy, trước khi An gieo xúc xắc, không thể biết bạn nào chiến thắng.

b) Kết quả của hai lần gieo xúc xắc là cặp số (i;j), trong đó i và j lần lượt là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc lần gieo thứ nhất và lần gieo thứ hai.

Tất cả các kết quả có thể xảy ra đối với số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là:

Vậy các kết quả có thể xảy ra đối với số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là:

(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5); (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6).

Thực hành 1 trang 78 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm không gian mẫu của phép thử thực hiện ở  .

Lời giải:

Do tất cả các kết quả có thể xảy ra đối với số chấm xuất hiện trong hai lần gieo trong hoạt động khám phá 1 là:

(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5); (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6).

Vậy không gian mẫu của phép thử An gieo một con xúc xắc hai lần là:

Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5); (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}.

Vận dụng trang 78 Toán lớp 10 Tập 2:  Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp ở Ví dụ 2, xem số, sau đó trả lại hộp, trộn đều rồi lại lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp đó. Hãy xác định không gian mẫu của phép thử hai lần lấy bóng này.

Lời giải:

Do hai quả bóng được lấy lần lượt nên ta cần tính đến thứ tự lấy bóng.

Kí hiệu các kết quả của phép thử là cặp số (i; j) trong đó i, j lần lượt là số của bóng được lấy ra.

Ta lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp, xem số, sau đó trả lại hộp, trộn đều rồi lại lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp đó, nên ta có không gian mẫu của phép thử hai lần lấy bóng này là: Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4)}.

Vậy không gian mẫu của phép thử hai lần lấy bóng là: Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4)}.

Hoạt động khám phá 2 trang 78 Toán lớp 10 Tập 2: Xét trò chơi ở  .

a) Nếu kết quả của phép thử là (2; 3) thì ai là người chiến thắng?

b) Hãy liệt kê tất cả các kết quả của phép thử đem lại chiến thắng cho Cường.

Lời giải:

a) Vì kết quả hai lần gieo ra hai mặt có số chấm khác nhau thì Bình thắng nên nếu kết quả của phép thử là (2; 3) thì Bình là người chiến thắng.

Vậy kết quả phép thử là (2; 3) thì Bình thắng.

b) Nếu kết quả hai lần gieo ra hai mặt có số chấm giống nhau thì Cường thắng.

Ta có các kết quả (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6) thỏa mãn hai mặt có số chấm giống nhau.

Vậy, các kết quả của phép thử đem lại chiến thắng cho Cường là: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6).

Thực hành 2 trang 79 Toán lớp 10 Tập 2: Trong phép thử gieo hai con xúc xắc, gọi B là biến cố “Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm” và C là biến cố “Số chấm xuất hiện ở con xúc xắc thứ nhất gấp 2 lần số chấm xuất hiện ở con xúc xắc thứ hai”.

a) Hãy xác định biến cố B và C bằng cách liệt kê các phần tử.

b) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho B và bao nhiêu kết quả thuận lợi cho C?

Lời giải:

Khi gieo hai con xúc xắc ta có không gian mẫu là:

 Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5); (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}.

a) B là biến cố “Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm”.

Ta có các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6).

Khi đó tập hợp mô tả biến cố B là: B = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}

C là biến cố “Số chấm xuất hiện ở con xúc xắc thứ nhất gấp 2 lần số chấm xuất hiện ở con xúc xắc thứ hai”

Ta có các kết quả thuận lợi cho biến cố C là: (6; 3), (4; 2), (2; 1).

Khi đó tập hợp mô tả biến cố C là: C = {(6; 3), (4; 2), (2; 1)}.

Vậy B = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)} và C = {(6; 3), (4; 2), (2; 1)}.

b) Vì B = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)} nên có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố B.

Vì C = {(6; 3), (4; 2), (2; 1)} nên có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố C.

Vậy có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố B và có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố C.

Hoạt động khám phá 3 trang 79 Toán lớp 10 Tập 2: Trong phép thử gieo hai con xúc xắc, có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố sau?

D: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 13”;

E: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 13”.

Lời giải:

Ta có không gian mẫu của phép thử gieo hai con xúc xắc là:

Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5); (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}.

Ta thấy tất cả các kết quả có thể trong không gian mẫu đều có tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 13.

Do đó, tất cả các kết quả có thể trong không gian mẫu đều thuận lợi cho biến cố D : “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 13”.

Vậy có 36 kết quả thuận lợi cho biến cố D.

Ta thấy không có kết quả có thể nào trong không gian mẫu thuận lợi cho biến cố E : “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 13”.

Vậy có 0 kết quả thuận lợi cho biến cố E.

Thực hành 3 trang 80 Toán lớp 10 Tập 2: Trong Ví dụ 4, hãy xác định số các kết quả thuận lợi cho biến cố:

a) “Trong 3 bạn được chọn có đúng một bạn nữ”;

b) “Trong 3 bạn được chọn không có bạn nam nào”.

Lời giải:

a) Ta có $C_4^1$ cách chọn ra 1 bạn nữ từ 4 bạn nữ. Ứng với mỗi cách chọn một bạn nữ có $C_5^2$  cách chọn ra 2 bạn nam từ 5 bạn nam.

Theo quy tắc nhân ta có tất cả  $C_4^1{C}_5^2$= 40 cách chọn ra 1 bạn nữ và 2 bạn nam từ nhóm bạn.

Do đó, số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong 3 bạn được chọn có đúng một bạn nữ” là: $C_4^1{C}_5^2$  = 40.

Vậy số các kết quả thuận lợi cho biến cố: “Trong 3 bạn được chọn có đúng một bạn nữ” là 40.

b) Với biến cố: “Trong 3 bạn được chọn không có bạn nam nào”.

Vì không có bạn nam nào được chọn nên có ba bạn nữ được chọn.

Ta chọn 3 bạn nữ trong 4 bạn nữ, có $C_4^3$  = 4 cách chọn.

Do đó, số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong 3 bạn được chọn không có bạn nam nào” là $C_4^3$  = 4.

Vậy số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong 3 bạn được chọn không có bạn nam nào” là 4.

Bài tập 1 trang 80 Toán lớp 10 Tập 2: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 100.

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Gọi A là biến cố “Số được chọn là số chính phương”. Hãy viết tập hợp mô tả biến cố A.

c) Gọi B là biến cố “Số được chọn chia hết cho 4”. Hãy tính số các kết quả thuận lợi cho B.

Lời giải:

a) Vì chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 100, tức là chọn một trong các số 1; 2; 3; 4; 5; 6;...; 98; 99, nên ta có không gian mẫu là:

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6;...; 98; 99}.

b) Với A là biến cố “Số được chọn là số chính phương”.

Vì số được chọn là số chính phương nên số được chọn là một trong các số 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81.

⇒ Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81.

Do đó tập hợp mô tả biến cố A là: A = {1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81}.

Vậy A = {1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81}.

c) Với B là biến cố “Số được chọn chia hết cho 4”.

Các số trong không gian mẫu chia hết cho 4 là: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; 60; 64; 68; 72; 76; 80; 88; 92; 96.

Do đó B = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; 60; 64; 68; 72; 76; 80; 84; 88; 92; 96} ⇒ có 24 kết quả thuận lợi cho biến cố B.

Vậy có 24 kết quả thuận lợi cho B.

Bài tập 2 trang 80 Toán lớp 10 Tập 2: Trong hộp có 3 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 3. Hãy xác định không gian mẫu của các phép thử:

a) Lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, trả thẻ vào hộp rồi lấy lại tiếp 1 thẻ từ hộp;

b) Lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, bỏ ra ngoài rồi lại lấy tiếp 1 thẻ từ hộp;

c) Lấy đồng thời hai thẻ từ hộp.

Lời giải:

a) Với phép thử: Lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, trả thẻ vào hộp rồi lấy lại tiếp 1 thẻ từ hộp.

Do hai tấm thẻ được lấy lần lượt nên cần tính đến thứ tự lấy thẻ và lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, trả thẻ vào hộp rồi lấy lại tiếp 1 thẻ từ hộp.

Khi đó, không gian mẫu của phép thử là:

Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}.

Vậy không gian mẫu của phép thử lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, trả thẻ vào hộp rồi lấy lại tiếp 1 thẻ từ hộp là Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}.

b) Với phép thử: Lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, bỏ ra ngoài rồi lại lấy tiếp 1 thẻ từ hộp.

Do hai tấm thẻ được lấy lần lượt nên cần tính đến thứ tự lấy thẻ và lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, bỏ ra ngoài rồi lại lấy tiếp 1 thẻ từ hộp nên số ở trên hai thẻ không thể giống nhau.

 Khi đó, không gian mẫu của phép thử là:

Ω = {(1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 3), (3; 1), (3; 2)}.

Vậy không gian mẫu của phép thử: Lấy 1 thẻ từ hộp, xem số, bỏ ra ngoài rồi lại lấy tiếp 1 thẻ từ hộp là: Ω = {(1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 3), (3; 1), (3; 2)}.

c) Với phép thử: Lấy đồng thời hai thẻ từ hộp.

Do mỗi lần lấy đồng thời 2 thẻ không tính đến thứ tự lần lượt nên không gian mẫu của phép thử là:

Ω = {(1; 2), (1; 3), (2; 3)}.

Vậy không gian mẫu của phép thử: Lấy đồng thời hai thẻ từ hộp là Ω = {(1; 2), (1; 3), (2; 3)}.

Bài tập 3 trang 80 Toán lớp 10 Tập 2: Gieo hai con xúc xắc. Hãy tính số các kết quả thuận lợi cho biến cố:

a) “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc hơn kém nhau 3 chấm”;

b) “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5”;

c) “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số lẻ”.

Lời giải:

a) Gọi A là biến cố “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc hơn kém nhau 3 chấm”.

Ta có: A = {(1; 4), (2; 5), (3; 6), (4; 1), (5; 2), (6; 3)}

Vậy có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố A.

b) Gọi B là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5”.

Ta có: B = {(1; 5), (2; 5), (3; 5); (4; 5), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 5)}.

Vậy có 11 kết quả thuận lợi cho biến cố B.

c) Gọi C là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số lẻ”:
Ta có: C = {(1; 2), (1; 4), (1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 5), (3; 2), (3; 4), (3; 6), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (5; 2), (5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 3), (6; 5)}

Vậy có 18 kết quả thuận lợi cho biến cố C.

Bài tập 4 trang 80 Toán lớp 10 Tập 2: Xếp 4 viên bi xanh và 5 viên bi trắng có các kích thước khác nhau thành một hàng ngang một cách ngẫu nhiên. Hãy tính số các kết quả thuận lợi cho các biến cố:

a) “Không có hai viên bi trắng nào xếp liền nhau”;

b) “Bốn viên bi xanh được xếp liền nhau”.

Lời giải:

a) Xếp 4 viên bi xanh tạo thành một hàng ngang, có 4! cách.

4 viên bi xanh sẽ tạo ra 5 khoảng trống, xếp 5 viên bi trắng vào 5 khoảng trống này. Khi đó, số cách xếp 5 viên bi trắng là 5! cách.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố “Không có hai viên bi trắng nào xếp liền nhau” là: 4!. 5! = 2880.

b) Coi 4 viên bi xanh là một nhóm, giữa 4 viên bi này có 4! cách xếp.

Xếp nhóm 4 viên bi xanh này với 5 viên bi trắng thì có 6! cách xếp.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố “Bốn viên bi xanh được xếp liền nhau” là: 4!. 6! = 17 280.