Giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4

Bài tập

Bài 1 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Biết a = 49,4; b = 26,4; $\widehat{C}={47}^{o}20\text{'}$ . Tính hai góc $\widehat{A};\widehat{B}$ và cạnh c.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin ta có:

c² = a² + b² - 2ab.cos C = 49,4² + 26,4² - 2 . 49,4 . 26,4 . cos $47°20\text{'}$ ≈ 1 369,58

$\Rightarrow$ c ≈ 37

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cos A = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{26,4^2+{37}^2-49,4^2}{2.26,4.37}$ ≈ -0,19.

$\Rightarrow \widehat{A}$ ≈ 101°3’.

Khi đó $\widehat{B}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)$ ≈ 31°37’.

Bài 2 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Biết a = 24, b = 13, c = 15. Tính các góc $\widehat{A}\text{, }\widehat{B}\text{, }\widehat{C}$ .

Lời giải:

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{{13}^2+{15}^2-{24}^2}{\mathrm{2.13.15}}=\frac{-7}{15}\Rightarrow \widehat{A}\approx {117}^0{49}^{\text{'}}$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$      

$\Rightarrow \widehat{C}={180}^0-(\widehat{A}+\widehat{B})\approx 33°33\text{'}$

Bài 3 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, c = 13.

a) Tam giác ABC có góc tù không?

b) Tính độ dài trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C. Tính độ dài BD.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin ta có: $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{8^2+{10}^2-{13}^2}{\mathrm{2.8.10}}=\frac{-1}{32}$

$\Rightarrow \widehat{C}\approx 91°47\text{'}$ > 90°

Vậy tam giác ABC có góc $\widehat{ACB}$ là góc tù.

b) Vì M là trung điểm của CB (vì AM là đường trung tuyến ) nên

CM = MB = 8 : 2 = 4 cm

Áp dụng định lí côsin ta có:

$$\begin{gathered} A{M}^2=A{C}^2+C{M}^2-2AC.CM.\cos C \\ ={10}^2+4^2-\mathrm{2.10.4.}\left(\frac{-1}{32}\right)=\frac{237}{2} \end{gathered}$$

$\Rightarrow AM=\frac{\sqrt{474}}{2}$

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\mathrm{.8.10.}\sin \left({91}^0{47}^{\text{'}}\right)\approx 39,98$

$\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{8.10.13}}{4.39,98}\approx 6,5$

Vì D đối xứng với A qua C nên $\widehat{BCD}=180°-\widehat{BCA}$

Áp dụng định lí côsin ta có:

$B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2-2.BC.CD.\cos (180°-\widehat{BCA})$

$=B{D}^2+C{D}^2-2BC.CD.(-\cos \widehat{BCA})$

$=8^2+{10}^2-\mathrm{2.8.10.}\frac{1}{32}=159$

$\Rightarrow BD=\sqrt{159}$

Bài 4 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\widehat{A}={120}^o$, b = 8, c = 5. Tính:

a) Cạnh a và các góc $\widehat{B}$, $\widehat{C}$;

b)  Diện tích tam giác ABC;

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH của tam giác.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

$\begin{array}{l}{a}^2=b^2+c^2-2bc\cos A=8^2+5^2-\mathrm{2.8.5.}\cos {120}^0=129\\ \Rightarrow a=\sqrt{129}\end{array}$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\begin{array}{l}{a}^2=b^2+c^2-2bc\cos A=8^2+5^2-\mathrm{2.8.5.}\cos {120}^0=129\\ \Rightarrow a=\sqrt{129}\end{array}$

$\widehat{C}={180}^0-\widehat{(A}+\widehat{B})\approx 22°25\text{'}$

b) $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AC.AB.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.8.5.}\sin {120}^0=10\sqrt{3}$

c) Ta có: $R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{8.5.}\sqrt{129}}{4.10\sqrt{3}}=\sqrt{43}$ 

$$\begin{gathered} \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow \sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{4\sqrt{43}}{43} \\ \Rightarrow \widehat{B}\approx 37°35\text{'} \end{gathered}$$

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

$\sin B=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AH=AB.\sin B=\frac{5.4\sqrt{43}}{43}=\frac{20\sqrt{43}}{43}$

Bài 5 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD.

a) Chứng minh 2(AB² + BC²) = AC² + BD².

b) Cho AB = 4, BC = 5, BD = 7. Tính AC.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin ta có:$A{C}^2=A{B}^2+C{B}^2-2.AB.CB.\cos \widehat{ABC}$(1)

                                            $B{D}^2=A{D}^2+A{B}^2-2.AD.AB.\cos \widehat{DAB}$

Mà theo tính chất của hình bình hành : CB = AD và $\widehat{DAB}={180}^0-\widehat{ABC}$ (Vì AD//BC và $\widehat{DAB};\widehat{ABC}$là hai góc trong cùng phía)

$\Rightarrow B{D}^2=B{C}^2+A{B}^2-2.BC.AB.\cos ({180}^0-\widehat{ABC})$

$B{D}^2=B{C}^2+A{B}^2+2.BC.AB.\cos \widehat{ABC}$ (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:

$A{C}^2+B{D}^2=A{B}^2+C{B}^2-2.AB.CB.\cos \widehat{ABC}+B{C}^2+A{B}^2+2.BC.AB.\cos \widehat{ABC}$

$=2A{B}^2+2B{C}^2=2.(A{B}^2+B{C}^2)$(đpcm)

b) Áp dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) ta được:

$\begin{array}{l}A{C}^2=2(A{B}^2+B{C}^2)-B{D}^2=2.(4^2+5^2)-7^2=33\\ \Rightarrow AC=\sqrt{33}\end{array}$

Bài 6 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 15, b = 20, c = 25.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

a) Ta có: $p=\frac{1}{2}.(a+b+c)=30$

Áp dụng công thức Heron:

$S_{ABC}=\sqrt{p.(p-a).(p-b).(p-c)}=\sqrt{30.(30-15).(30-20).(30-25)}=150$

Vậy diện tích tam giác ABC là 150 (đvdt).

b) $R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{15.20.25}}{4.150}=\frac{25}{2}$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $R=\frac{25}{2}$.

Bài 7 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cotA + cotB + cotC = $\frac{R(a^2+b^2+c^2)}{abc}$

Lời giải:

Ta có:     cotA + cot B + cot C

$=\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\cos B}{\sin B}+\frac{\cos C}{\sin C}$

Mà áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

$\begin{array}{l}\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\end{array}$

$\Rightarrow \cot A+\cot B+\cot C=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc.\sin A}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac.\sin B}+\frac{b^2+a^2-c^2}{2ab.\sin C}$ (1)

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ab\sin B$ (2)

Kết hợp (1) và (2) ta được:

$\cot A+\cot B+\cot C=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S_{ABC}}+\frac{a^2+c^2-b^2}{4S_{ABC}}+\frac{b^2+a^2-c^2}{4S_{ABC}}$

                                $=\frac{b^2+c^2-a^2+c^2+a^2-b^2+a^2+b^2-c^2}{4S_{ABC}}$

                               $=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S_{ABC}}$

                                $=\frac{a^2+b^2+c^2}{4.\frac{abc}{4R}}=\frac{R.(a^2+b^2+c^2)}{abc}$ (đpcm)

Bài 8 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Tính khoảng cách AB giữa hai nóc tòa cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là 370 km, 350 km và góc nhìn từ vệ tinh đến A và B là 2,1°.

Lời giải:

Gọi vị trí của máy bay là điểm M

Áp dụng định lí côsin ta có:

Vậy khoảng cách giữa 2 nóc toà cao ốc khoảng 23,96 km

Bài 9 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300 m và thẳng hàng với chân B của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển (Hình 2). Từ P và Q, người ta nhìn thấy tháp hải đăng AB dưới các góc $\widehat{BPA}={35}^o$ và $\widehat{BQA}={48}^o$. Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{PQA}={180}^0-\widehat{AQB}={132}^0$

Trong tam giác APQ có: $\widehat{PAQ}={180}^0-(\widehat{APQ}+\widehat{AQP})={13}^0$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{PQ}{\sin \widehat{PAQ}}=\frac{AQ}{\sin P}\Rightarrow AQ=\frac{PQ.\sin \widehat{PAQ}}{\sin P}=\frac{300.\sin {35}^0}{\sin {13}^0}\approx 764,93$ m

Xét tam giác ABQ vuông tại B ta có: $\sin {48}^0=\frac{AB}{AQ}\Rightarrow AB=AQ.\sin {48}^0\approx 568,45$ m.

Vậy chiều cao của tháp hải đăng khoảng 568,45 m.

Bài 10 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Muốn đo chiều cao của một ngọn tháp, người ta lấy hai điểm A, B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của hai giác kế có chiều cao là h = 1,2 m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A₁, B₁ cùng thẳng hàng với C₁ thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được $\widehat{D{A}_1{C}_1}={49}^o,\widehat{D{B}_1{C}_1}={35}^o$. Tính chiều cao CD của tháp.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{D{A}_1{B}_1}={180}^0-{49}^0={131}^0$

Xét tam giác $A_1{B}_{1}D$có: $\widehat{A_{1}D{B}_1}={180}^0-(\widehat{D{A}_1{B}_1}+\widehat{A_1{B}_{1}D})={14}^0$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{A_{1}D}{\sin \widehat{D{B}_1{C}_1}}=\frac{A_1{B}_1}{\sin \widehat{A_{1}D{B}_1}}\Rightarrow A_{1}D=\frac{A_1{B}_1.\sin \widehat{D{B}_1{C}_1}}{\sin \widehat{A_{1}D{B}_1}}=\frac{12.\sin 35°}{\sin 14°}\approx 28,45$

Xét tam giác $D{C}_1{A}_1$ vuông tại $C_1$ ta có:

$\sin {49}^0=\frac{D{C}_1}{D{A}_1}\Rightarrow D{C}_1=D{A}_1.\sin {49}^0\approx 21,47m$

Ta có: CD = 21,47 + 1,2 = 22,67 m.

Vậy chiều cao của tháp khoảng 22,67 m.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: