Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm trên R. Chọn kết luận đúng:
A. Hàm số đồng biến trên R
B. Hàm số không xác định tại x = 0
C. Hàm số nghịch biến trên R
Ta có:
và nên hàm số nghịch biến trên R.
Đáp án cần chọn là: C
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Mệnh đề nào sau đây sai?
Cho hàm số y= f (x) xác định và có đạo hàm trên (a;b). Chọn kết luận đúng:
Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R. Nếu hàm số f (x) đồng biến trên R thì:
Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R. Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên R thì:
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Mệnh đề nào sau đây sai?
Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên R. Chọn kết luận đúng:
Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm trên R. Chọn kết luận đúng:
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Chọn kết luận đúng:
Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm trên R. Chọn kết luận đúng:
I. Tính đơn điệu của hàm số
1. Nhắc lại định nghĩa
- Định nghĩa:
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là
x1 < x2 f(x1) < f(x2).
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là
x1 < x2 f(x1) > f(x2).
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:
a) f(x) đồng biến trên K .
f(x) nghịch biến trên K .
b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
- Định lí:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
- Chú ý:
Nếu f’(x) = 0 với thì f(x) không đổi trên K.
Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
a) y = x2 + 2x – 10;
b) .
Lời giải:
a) Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2
Và y’ = 0 khi x = – 1.
Lập bảng biến thiên:
– 1 |
|
||
f’(x) |
– |
0 |
+ |
f(x) |
– 11 |
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .
b)
Hàm số đã cho xác định với
Ta có:
Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng và .
- Chú ý:
Ta có định lí mở rộng sau đây:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu
Và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.
Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x3 – 6x2 + 12x – 10.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2
Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với .
Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
1. Quy tắc
- Bước 1. Tìm tập xác định.
- Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Áp dụng
Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = 4x3 – 4x
y’ = 0
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và
Hàm số nghịch biến trên và (0; 1).
Ví dụ 4. Cho hàm số . Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9
Và y’ = 0
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên và .