IMG-LOGO

Câu hỏi:

23/07/2024 726

Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm N, M, P sao cho \(BN = \frac{a}{3},CM = \frac{{2a}}{3},AP = x\left( {0 < x < a} \right)\). Tìm giá trị của x theo a để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM.

 Xem lời giải

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt  (ảnh 1)

Do BN = \(\frac{a}{3}\) và BC = a nên BN = \(\frac{1}{3}\)BC.

Mà N thuộc cạnh BC nên vectơ \(\overrightarrow {BN} \)\(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. Do đó, \(\overrightarrow {BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).

Ta có \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Lại có: CM = \(\frac{{2a}}{3}\), mà AC = a và M thuộc cạnh AC nên AM = \(a - \frac{{2a}}{3} = \frac{a}{3} = \frac{1}{3}AC\).

Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Và AP = x (0 < x < a), AB = a, P thuộc cạnh AB nên AP = \(\frac{x}{a}AB\).

Suy ra \(\overrightarrow {AP} = \frac{x}{a}\overrightarrow {AB} \).

Do đó, ta: \(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{x}{a}\overrightarrow {AB} \).

Khi đó, \(AN \bot PM \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} \cdot \overrightarrow {PM} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{x}{a}\overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{2x}}{{3a}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{x}{{3a}}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{9} - \frac{x}{{3a}}} \right)\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{2x}}{{3a}}.{a^2} + \frac{1}{9}.{a^2} = 0\) (do AB = AC = a)

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{9} - \frac{x}{{3a}}} \right) \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right) - \frac{{2xa}}{3} + \frac{{{a^2}}}{9} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{9} - \frac{x}{{3a}}} \right) \cdot a \cdot a \cdot cos60^\circ - \frac{{2xa}}{3} + \frac{{{a^2}}}{9} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2a - 3x}}{{9a}} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{2xa}}{3} + \frac{{{a^2}}}{9} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2a - 3x} \right)a}}{{18}} - \frac{{12xa}}{{18}} + \frac{{2{a^2}}}{{18}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2{a^2} - 3xa - 12xa + 2{a^2}}}{{18}} = 0\)

4a2 – 15xa = 0

a(4a – 15x) = 0

4a – 15x = 0 (do a > 0).

\(x = \frac{{4a}}{{15}}\).

Vậy \(x = \frac{{4a}}{{15}}\) thì đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM.

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M bất kỳ. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 05/11/2022 3,894

Câu 2:

Cho ba điểm A, B, C như hình vẽ:

Cho ba điểm A, B, C như hình vẽ: A M B Đẳng thức nào sau đây đúng A. vecto MB  (ảnh 1)

Đẳng thức nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 05/11/2022 1,029

Câu 3:

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O như hình vẽ bên. Vectơ \(\overrightarrow {OB} \) cùng phương với vectơ nào sau đây?

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O như hình vẽ bên. Vectơ OB cùng phương với vectơ (ảnh 1)

Xem đáp án » 05/11/2022 817

Câu 4:

Một cảnh sát giao thông ghi lại tốc độ (đơn vị: km/h) của 25 xe qua trạm như sau:

 

20

41

41

80

40

52

52

52

60

55

60

60

62

60

55

60

55

90

70

35

40

30

30

80

25

 

 

Tìm các số liệu bất thường (nếu có) trong mẫu số liệu trên.

Xem đáp án » 05/11/2022 539

Câu 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow u = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \).

Xem đáp án » 05/11/2022 533

Câu 6:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 05/11/2022 506

Câu 7:

Cho tam giác ABC có: AB = 3, BC = 4, AC = 5. Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \).

Xem đáp án » 05/11/2022 414

Câu 8:

Khoảng tứ phân vị ∆Q

Xem đáp án » 05/11/2022 353

Câu 9:

Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây cùng phương?

Xem đáp án » 05/11/2022 287

Câu 10:

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào không phải là mệnh đề?

Xem đáp án » 05/11/2022 282

Câu 11:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN. Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {AN} \) qua các vectơ \(\overrightarrow {AB} \)\(\overrightarrow {AC} \).

Xem đáp án » 05/11/2022 262

Câu 12:

Tìm trung vị của mẫu số liệu sau:

0; 1; 2; 3; 5; 9; 10.

Xem đáp án » 05/11/2022 239

Câu 13:

Tính số trung bình của mẫu số liệu sau:

2; 5; 8; 7; 10; 20; 11.

Xem đáp án » 05/11/2022 237

Câu 14:

Cho tam giác ABC cân tại A có \[\widehat A = 120^\circ \]. Khi đó sin B bằng:

Xem đáp án » 05/11/2022 225

Câu 15:

Mệnh đề nào sau đây sai:

Xem đáp án » 05/11/2022 220

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »