Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{{{a^3}\left( {b + c} \right)}} + \frac{1}{{{b^3}\left( {c + a} \right)}} + \frac{1}{{{c^3}\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{3}{2}\).
Giải bởi Vietjack
Ta có \(VT = \frac{{abc}}{{{a^3}\left( {b + c} \right)}} + \frac{{abc}}{{{b^3}\left( {c + a} \right)}} + \frac{{abc}}{{{c^3}\left( {a + b} \right)}}\)
\( = \frac{{bc}}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}} + \frac{{ac}}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}} + \frac{{ab}}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}\)
\( = \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{a^2}bc\left( {b + c} \right)}} + \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{b^2}ac\left( {c + a} \right)}} + \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{c^2}ab\left( {a + b} \right)}}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng Engel, ta có:
\(VT \ge \frac{{{{\left( {bc + ac + ab} \right)}^2}}}{{{a^2}bc\left( {b + c} \right) + {b^2}ac\left( {c + a} \right) + {c^2}ab\left( {a + b} \right)}}\)
\( = \frac{{{{\left( {bc + ac + ab} \right)}^2}}}{{abc\left( {ab + ac + bc + ab + ac + bc} \right)}}\)
\( = \frac{{{{\left( {bc + ac + ab} \right)}^2}}}{{2\left( {ab + ac + bc} \right)}} = \frac{{bc + ac + ab}}{2}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: \[bc + ac + ab \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} = 3\].
Vì vậy \(VT \ge \frac{{bc + ac + ab}}{2} \ge \frac{3}{2}\).
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = 1.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Có tất cả 40 con vừa gà vừa chó. Số chân chó nhiều hơn số chân gà là 16 chân. Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = a, \(BC = a\sqrt 3 \). Tam giác SOA cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Cho phương trình (1 + m)x2 – 2mx + 2m = 0. Tìm m để phương trình:
a) Có nghiệm.
b) Vô nghiệm.
c) Có 2 nghiệm.
d) Có 2 nghiệm phân biệt.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC). Gọi M là trung điểm BC, I là giao điểm của DM với AB, K là giao điểm của EM với AC. Chứng minh:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật.
c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \). Các tia phân giác của \(\widehat B\) và \(\widehat C\) cắt nhau ở I, cắt cạnh AC, AB ở D và E. Tia phân giác của \(\widehat {BIC}\) cắt BC ở F.
a) Tính \(\widehat {BIC}\).
b) Chứng minh ID = IE = IF.
c) Chứng minh tam giác DEF đều.
d) Chứng minh I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC và DEF.
Cho \(\left( {x + \sqrt {2005 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {2005 + {y^2}} } \right) = 2005\). Tính x2005 + y2005.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên các cạnh góc vuông AB, AC lấy D và E sao cho AD = AE. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở K. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở H. Gọi M là giao điểm của DK và AC. Chứng minh rằng:
a) ∆BAE = ∆CAD;
b) ∆MDC cân;
c) HK = HC.
Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Hỏi từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và phải có mặt các chữ số 1, 2, 3 sao cho chúng không đứng cạnh nhau?
Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn \(\frac{{\sin A}}{1} = \frac{{\sin B}}{2} = \frac{{\sin C}}{{\sqrt 3 }}\). Tính số đo các góc của tam giác.
Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2; 4; 5. Tính số viên bi của mỗi bạn, biết rằng 3 lần số bi của bạn Hùng nhiều hơn 2 lần số bi của bạn Minh là 40 viên.
Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{y + z}} + \frac{1}{{z + x}}\).
Gọi S là tập hợp các giá trị của m để bất phương trình x2 – 2mx + 5m – 8 ≤ 0 có tập nghiệm là [a; b] sao cho b – a = 4. Tổng tất cả các phần tử của S là
Tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \), các cạnh b = 20 c = 35.
a) Tính chiều cao ha.
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
