Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \). Các tia phân giác của \(\widehat B\) và \(\widehat C\) cắt nhau ở I, cắt cạnh AC, AB ở D và E. Tia phân giác của \(\widehat {BIC}\) cắt BC ở F.

a) Tính \(\widehat {BIC}\).

b) Chứng minh ID = IE = IF.

c) Chứng minh tam giác DEF đều.

d) Chứng minh I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC và DEF.

a) Ta có BI, CI lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\).

Suy ra \(2\widehat {IBC} = \widehat {ABC}\) và \(2\widehat {ICB} = \widehat {ACB}\).

∆ABC, có: \(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Do đó \(2\left( {\widehat {IBC} + \widehat {ICB}} \right) = 120^\circ \).

Vì vậy \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 120^\circ :2 = 60^\circ \).

∆BIC, có: \(\widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\widehat {IBC} + \widehat {ICB}} \right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Vậy \(\widehat {BIC} = 120^\circ \).

b) Ta có \(\widehat {EIB} + \widehat {BIC} = 180^\circ \) (kề bù).

Suy ra \(\widehat {EIB} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {DIC} = 60^\circ \).

Ta có IF là tia phân giác của \(\widehat {BIC}\).

Suy ra \(\widehat {BIF} = \widehat {FIC} = \frac{{\widehat {BIC}}}{2} = 60^\circ \).

Xét ∆IFC và ∆IDC, có:

IC là cạnh chung;

\(\widehat {ICF} = \widehat {ICD}\) (CI là tia phân giác của \(\widehat {FCD}\));

\(\widehat {FIC} = \widehat {DIC}\,\,\left( { = 60^\circ } \right)\).

Do đó ∆IFC = ∆IDC (g.c.g).

Suy ra IF = ID (cặp cạnh tương ứng)     (1)

Chứng minh tương tự, ta được: IE = IF     (2)

Từ (1), (2), ta thu được ID = IE = IF.

c) Ta có:

⦁ \(\widehat {EIF} = \widehat {EIB} + \widehat {BIF} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \).

⦁ \(\widehat {DIF} = \widehat {DIC} + \widehat {CIF} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \).

Xét ∆EIF và ∆DIF, có:

IF là cạnh chung;

\(\widehat {EIF} = \widehat {DIF}\,\,\left( { = 120^\circ } \right)\);

IE = ID (kết quả câu b).

Do đó ∆EIF = ∆DIF (c.g.c).

Suy ra EF = DF (cặp cạnh tương ứng)       (3)

Ta có \(\widehat {DIE} = \widehat {BIC} = 120^\circ \) (đối đỉnh).

Xét ∆DIE và ∆FIE, có:

EI là cạnh chung;

ID = IF (kết quả câu b);

\(\widehat {DIE} = \widehat {FIE}\,\,\left( { = 120^\circ } \right)\).

Do đó ∆DIE = ∆FIE (c.g.c).

Suy ra DE = EF (cặp cạnh tương ứng)       (4)

Từ (3), (4), suy ra DE = EF = DF.

Vậy tam giác DEF đều.

d) Tam giác ABC có hai đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I.

Suy ra I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC    (5)

Ta có ∆EIF = ∆DIF (chứng minh trên).

Suy ra \(\widehat {EFI} = \widehat {DFI}\) (cặp góc tương ứng).

Do đó FI là đường phân giác của tam giác DEF.

Chứng minh tương tự, ta được EI là đường phân giác của tam giác DEF.

Tam giác DEF có hai đường phân giác FI, EI cắt nhau tại I.

Suy ra I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác DEF    (6)

Từ (5), (6), ta thu được I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC và DEF.