Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \). Các tia phân giác của \(\widehat B\) và \(\widehat C\) cắt nhau ở I, cắt cạnh AC, AB ở D và E. Tia phân giác của \(\widehat {BIC}\) cắt BC ở F.
a) Tính \(\widehat {BIC}\).
b) Chứng minh ID = IE = IF.
c) Chứng minh tam giác DEF đều.
d) Chứng minh I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC và DEF.
Giải bởi Vietjack
a) Ta có BI, CI lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\).
Suy ra \(2\widehat {IBC} = \widehat {ABC}\) và \(2\widehat {ICB} = \widehat {ACB}\).
∆ABC, có: \(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác).
Suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Do đó \(2\left( {\widehat {IBC} + \widehat {ICB}} \right) = 120^\circ \).
Vì vậy \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 120^\circ :2 = 60^\circ \).
∆BIC, có: \(\widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\widehat {IBC} + \widehat {ICB}} \right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Vậy \(\widehat {BIC} = 120^\circ \).
b) Ta có \(\widehat {EIB} + \widehat {BIC} = 180^\circ \) (kề bù).
Suy ra \(\widehat {EIB} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {DIC} = 60^\circ \).
Ta có IF là tia phân giác của \(\widehat {BIC}\).
Suy ra \(\widehat {BIF} = \widehat {FIC} = \frac{{\widehat {BIC}}}{2} = 60^\circ \).
Xét ∆IFC và ∆IDC, có:
IC là cạnh chung;
\(\widehat {ICF} = \widehat {ICD}\) (CI là tia phân giác của \(\widehat {FCD}\));
\(\widehat {FIC} = \widehat {DIC}\,\,\left( { = 60^\circ } \right)\).
Do đó ∆IFC = ∆IDC (g.c.g).
Suy ra IF = ID (cặp cạnh tương ứng) (1)
Chứng minh tương tự, ta được: IE = IF (2)
Từ (1), (2), ta thu được ID = IE = IF.
c) Ta có:
⦁ \(\widehat {EIF} = \widehat {EIB} + \widehat {BIF} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \).
⦁ \(\widehat {DIF} = \widehat {DIC} + \widehat {CIF} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \).
Xét ∆EIF và ∆DIF, có:
IF là cạnh chung;
\(\widehat {EIF} = \widehat {DIF}\,\,\left( { = 120^\circ } \right)\);
IE = ID (kết quả câu b).
Do đó ∆EIF = ∆DIF (c.g.c).
Suy ra EF = DF (cặp cạnh tương ứng) (3)
Ta có \(\widehat {DIE} = \widehat {BIC} = 120^\circ \) (đối đỉnh).
Xét ∆DIE và ∆FIE, có:
EI là cạnh chung;
ID = IF (kết quả câu b);
\(\widehat {DIE} = \widehat {FIE}\,\,\left( { = 120^\circ } \right)\).
Do đó ∆DIE = ∆FIE (c.g.c).
Suy ra DE = EF (cặp cạnh tương ứng) (4)
Từ (3), (4), suy ra DE = EF = DF.
Vậy tam giác DEF đều.
d) Tam giác ABC có hai đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I.
Suy ra I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC (5)
Ta có ∆EIF = ∆DIF (chứng minh trên).
Suy ra \(\widehat {EFI} = \widehat {DFI}\) (cặp góc tương ứng).
Do đó FI là đường phân giác của tam giác DEF.
Chứng minh tương tự, ta được EI là đường phân giác của tam giác DEF.
Tam giác DEF có hai đường phân giác FI, EI cắt nhau tại I.
Suy ra I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác DEF (6)
Từ (5), (6), ta thu được I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC và DEF.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Có tất cả 40 con vừa gà vừa chó. Số chân chó nhiều hơn số chân gà là 16 chân. Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = a, \(BC = a\sqrt 3 \). Tam giác SOA cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Cho phương trình (1 + m)x2 – 2mx + 2m = 0. Tìm m để phương trình:
a) Có nghiệm.
b) Vô nghiệm.
c) Có 2 nghiệm.
d) Có 2 nghiệm phân biệt.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC). Gọi M là trung điểm BC, I là giao điểm của DM với AB, K là giao điểm của EM với AC. Chứng minh:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật.
c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{{{a^3}\left( {b + c} \right)}} + \frac{1}{{{b^3}\left( {c + a} \right)}} + \frac{1}{{{c^3}\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{3}{2}\).
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên các cạnh góc vuông AB, AC lấy D và E sao cho AD = AE. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở K. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở H. Gọi M là giao điểm của DK và AC. Chứng minh rằng:
a) ∆BAE = ∆CAD;
b) ∆MDC cân;
c) HK = HC.
Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Hỏi từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và phải có mặt các chữ số 1, 2, 3 sao cho chúng không đứng cạnh nhau?
Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn \(\frac{{\sin A}}{1} = \frac{{\sin B}}{2} = \frac{{\sin C}}{{\sqrt 3 }}\). Tính số đo các góc của tam giác.
Cho \(\left( {x + \sqrt {2005 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {2005 + {y^2}} } \right) = 2005\). Tính x2005 + y2005.
Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2; 4; 5. Tính số viên bi của mỗi bạn, biết rằng 3 lần số bi của bạn Hùng nhiều hơn 2 lần số bi của bạn Minh là 40 viên.
Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{y + z}} + \frac{1}{{z + x}}\).
Gọi S là tập hợp các giá trị của m để bất phương trình x2 – 2mx + 5m – 8 ≤ 0 có tập nghiệm là [a; b] sao cho b – a = 4. Tổng tất cả các phần tử của S là
Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm của OO’. Đường thẳng qua A cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở C và D.
a) Khi CD ⊥ MA, chứng minh AC = AD.
b) Khi CD đi qua A và không vuông góc với MA.
i) Vẽ đường kính AE của (O), AE cắt (O’) ở H. Vẽ đường kính AF của (O’), AF cắt (O) ở G. Chứng minh AB, EG, FH đồng quy.
ii) Tìm vị trí của CD để đoạn CD có độ dài lớn nhất.
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b) Để tứ giác MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD cần có điều kiện gì?
c) Cho AC = 6 cm, BD = 8 cm. Hãy tính diện tích tứ giác MNPQ.
