Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[d(BD;SC) = OK = \frac{1}{2}d(A;SC) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}\]
Giải bởi Vietjack
Ta có: \[2{x^2} + xy + 2{y^2} = \frac{3}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)\]
\[ = \frac{3}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \frac{1}{2}{\left( {x + y} \right)^2}\]
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
(x2 + y2)(1 + 1) ≥ (x + y)2
Û 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2
\[ \Leftrightarrow \frac{3}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge \frac{3}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{3}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \frac{1}{2}{\left( {x + y} \right)^2} \ge \frac{5}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\]
\[ \Leftrightarrow 2{x^2} + xy + 2{y^2} \ge \frac{5}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + xy + 2{y^2}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}\left( {x + y} \right)\]
Chứng minh tương tự, ta có:
• \[\sqrt {2{y^2} + yz + 2{z^2}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}\left( {y + z} \right)\]
• \[\sqrt {2{z^2} + xz + 2{x^2}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}\left( {x + z} \right)\]
Do đó: \[P = \sqrt {2{x^2} + xy + 2{y^2}} + \sqrt {2{y^2} + yz + 2{z^2}} + \sqrt {2{z^2} + xz + 2{x^2}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}(2x + 2y + 2z)\]
Suy ra \[P \ge \sqrt 5 (x + y + z) = \sqrt 5 \]
Dấu “=” xảy ra khi \[x = y = z = \frac{1}{3}\].
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \[\sqrt 5 \] khi \[x = y = z = \frac{1}{3}\].
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD và AB = 2CD). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD và AB = 2CD). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Xác định giao điểm K của đường thẳng AM với (SBD).
Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E; CF cắt BE tại H. Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD = HA. Chứng minh: ΔABH = ΔDBH.
Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. CF cắt BE tại H. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF, Tính số đo cung EHF, diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) nếu \[\widehat {BAC} = 60^\circ \], AH = 4 cm.
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC (D trên AB, E trên AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE. Chứng minh AH = DE.
Cho tam giác ABC, kẻ AH ^ BC. Trên tia đối của tia HA, lấy điểm K sao cho HK = HA. Nối KB, KC. Tìm các cặp tam giác bằng nhau trong hình vẽ.
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC (D trên AB, E trên AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và HC. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông.
Từ điểm M bên ngoài đường tròn (O) kẻ cát tuyến MAB (qua O) và tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao của AC và BD. Chứng minh M, K, B, C cùng thuộc một đường tròn.
Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c có trục đối xứng là đường thẳng x = 1.
Tính 4a + 2b.
Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(–1; 2); B(5; 8). Điểm M thuộc Ox sao cho tứ giác MAB vuông tại A. Tính diện tích tam giác MAB.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết thể tích của khối chóp bằng \[\frac{{{a^3}}}{6}\]. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp của hình chóp S.ABC.
Cho tam giác ABC có \[\widehat B = 60^\circ \], BC = 10 cm. Chu vi của tam giác ABC là 24 cm. Tính độ dài AB, AC.
Cho đường tròn (O; 2cm), các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A đến đường tròn và vuông góc với nhau tại A (B và C là các tiếp điểm). Tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao?
