Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H và K. Lấy E bất kỳ thuộc cung nhỏ HK. Vẽ tiếp tuyến tại E cắt AB, AC ở M, N.
a) Giả sử \(\widehat B = \widehat C = \alpha \). Tính \(\widehat {MON}\).
b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.
c) Giả sử BC = 2a. Tính BM . CN.
d) MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét tam giác ABC có
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)
Hay \(\widehat A + \alpha + \alpha = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat A = 180^\circ - 2\alpha \)
Xét tứ giác AHOK có
\(\widehat {AHO} + \widehat {AK{\rm{O}}} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Suy ra tứ giác AHOK nội tiếp
Do đó \(\widehat {HAK} + \widehat {HOK} = 180^\circ \)
Hay \(180^\circ - 2\alpha + \widehat {HOK} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {HOK} = 2\alpha \)
Xét (O) có MH, ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M
Suy ra OM là tia phân giác của \(\widehat {HOE}\)
Do đó \(\widehat {HOM} = \widehat {MOE} = \frac{1}{2}\widehat {HOE}\)
Xét (O) có NK, NE là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N
Suy ra ON là tia phân giác của \(\widehat {KOE}\)
Do đó \(\widehat {KON} = \widehat {NOE} = \frac{1}{2}\widehat {KOE}\)
Ta có: \(\widehat {MON} = \widehat {MOE} + \widehat {NOE} = \frac{1}{2}\widehat {HOE} + \frac{1}{2}\widehat {K{\rm{O}}E} = \frac{1}{2}\widehat {HOK} = \frac{1}{2}.2\alpha = \alpha \)
Vậy \(\widehat {MON} = \alpha \)
b) Xét (O) có MH, ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M
Suy ra MO là tia phân giác của \(\widehat {HME}\)
Do đó \(\widehat {HMO} = \widehat {OME} = \frac{1}{2}\widehat {HME}\)
Xét (O) có NK, NE là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N
Suy ra NO là tia phân giác của \(\widehat {KNE}\)
Do đó \(\widehat {KNO} = \widehat {ONE} = \frac{1}{2}\widehat {KNE}\)
Xét ∆BMO và ∆OMN có:
\(\widehat {BMO} = \widehat {NMO}\) (chứng minh trên);
\(\widehat B = \widehat {MON}\left( { = \alpha } \right)\)
Suy ra (g.g)
Xét ∆CON và ∆OMN có
\(\widehat {CNO} = \widehat {MNO}\) (chứng minh trên);
\(\widehat C = \widehat {MON}\left( { = \alpha } \right)\)
Suy ra (g.g)
Vậy OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.
c) Vì OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng
Suy ra
Do đó \(\frac{{CO}}{{BM}} = \frac{{CN}}{{BO}}\)
Suy ra BM . CN = CO . BO = a . a = a2
d) Vì tích BM . CN = a2 cố định nên tổng BM + CN nhỏ nhất khi BM = CN
Mà AB = AC
Suy ra \(\frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{CN}}{{AC}}\)
Do đó MN // BC
Vậy khi MN // BC thì BM + CN nhỏ nhất.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết OB = 2cm và OA = 4cm.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn, với C không trùng A và B. Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại tiếp điểm C cắt tia OI tại điểm D.
a) Chứng minh OI // BC.
b) Chứng minh DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
c) Vẽ CH ⊥ AB (H ∈ AB) và BK ⊥ CD (K ∈ CD). Chứng minh CK2 = HA . HB.
Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với (O) (E không trùng với D). Chọn câu đúng nhất:
Cho tam giác ABC vuông tại B (AB < AC) có AM là tia phân giác (M ∈ BC), trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AB = AN.
a) Chứng minh ∆ABM = ∆ANM.
b) Chứng minh \(\widehat {BAC} = \widehat {CMN}\).
