Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là đường elip (Hình 32). Độ cao h (km) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được xác định bởi công thức \(h = 550 + 450\cos \frac{\pi }{{50}}t\) (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021), trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Tại thời điểm t bằng bao nhiêu thì vệ tinh cách mặt đất 1 000 km; 250 km; 100 km?
Trên thực tế, có nhiều bài toán dẫn đến việc giải một trong các phương trình có dạng: sinx = m, cosx = m, tanx = m, cotx = m, trong đó x là ẩn số, m là số thực cho trước. Các phương trình đó là các phương trình lượng giác cơ bản.
Giải bởi Vietjack
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
• Để vệ tinh cách mặt đất 1 000 km thì \(550 + 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = 1\,\,\,000\)
\( \Leftrightarrow 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = 450\)
\( \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{50}}t = k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z},\,t \ge 0} \right)\)
\[ \Leftrightarrow t = k2\pi .\frac{{50}}{\pi } = 100k\,\,\left( {k \in \left\{ {0;1;2;3;...} \right\}} \right)\]
Vậy tại các thời điểm t = 100k (với k ∈ ℤ, t ≥ 0) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 1 000 km.
• Để vệ tinh cách mặt đất 250 km thì \(550 + 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = 250\)
\( \Leftrightarrow 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = - 300\)
\( \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t = - \frac{2}{3}\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{50}}t \approx 2,3 + k2\pi \\\frac{\pi }{{50}}t \approx - 2,3 + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}\,,\,\,t \ge 0} \right)\]
(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp ta được kết quả gần đúng là 2,3)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx \frac{{115}}{\pi } + 100k\\t \approx - \frac{{115}}{\pi } + 100k\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}\,,\,\,t \ge 0} \right)\]
Vậy tại các thời điểm \[t \approx \pm \frac{{115}}{\pi } + 100k\](với k ∈ ℤ, t ≥ 0) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 250 km.
• Để vệ tinh cách mặt đất 100 km thì \(550 + 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = 1\,00\)
\( \Leftrightarrow 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = - 450\)
\( \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t = - 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{50}}t = \pi + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z},\,t \ge 0} \right)\).
\( \Leftrightarrow t = 50 + 100k\,\,\,\left( {k \in \left\{ {0;1;2;3;...} \right\}} \right)\).
Vậy tại các thời điểm t = 50 + 100k (với k ∈ ℤ, t ≥ 0) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 100 km.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Hai phương trình x – 1 = 0 và \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = 0\) có tương đương không? Vì sao?
Quan sát các giao điểm của đồ thị hàm số y = tanx và đường thẳng y = 1 (Hình 35).
Từ hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = tanx và đường thẳng y = 1 trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), hãy xác định tất cả các hoành độ giao điểm của hai đồ thị đó.
Quan sát các giao điểm của đồ thị hàm số y = cotx và đường thẳng y = ‒1 (Hình 36).
Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình cotx = ‒1?
Giải phương trình:
\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\);
Dùng đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx để xác định số nghiệm của phương trình:
cosx = 0 trên đoạn \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).
Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 38). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (s) (với t ≥ 0) bởi hệ thức h = |d| với \(d = 3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right]\), trong đó ta quy ước d > 0 khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Vào thời gian t nào thì khoảng cách h là 3 m, 0 m?
Giải phương trình \(\sin 2x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).
