IMG-LOGO

Câu hỏi:

22/07/2024 204

Tìm số điểm cực trị của hàm số y = x4 + 2x2 + 3

A. 0

B. 1

Đáp án chính xác

C. 2

D. 3

 Xem lời giải  Xem lý thuyết

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Đáp án B.

Tập xác định D = R.

y' = 4x3 + 4x

y’ = 0 <=> 4x3 + 4x = 0 <=> x = 0.

Bảng biến thiên

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – 3x + 1, mệnh đề nào sau đây là đúng?

Xem đáp án » 18/01/2022 1,378

Câu 2:

Hàm số y = x – sin 2x + 3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

Xem đáp án » 18/01/2022 1,083

Câu 3:

Hàm số y = x – sin 2x đạt cực đại tại các điểm nào cho dưới đây?

Xem đáp án » 18/01/2022 1,004

Câu 4:

Hàm số y = x3 – 3x2 + 3x – 4 có bao nhiêu cực trị?

Xem đáp án » 18/01/2022 701

Câu 5:

Đồ thị của hàm số y = 3x4 – 4x3 – 6x2 + 12x + 1 đạt cực tiểu tại M(x1; y1). Khi đó x1 + y1 bằng

Xem đáp án » 18/01/2022 515

Câu 6:

Đồ thị hàm số y = x4 – 3x2 + ax + b có điểm cực tiểu A(2;-2). Tính tổng (a + b)

Xem đáp án » 18/01/2022 469

Câu 7:

Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị A(0;0), B(1;1) thì các hệ số a, b, c, d có giá trị lần lượt là:

Xem đáp án » 18/01/2022 384

Câu 8:

Khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = (x + 1)(x – 2)2

Xem đáp án » 18/01/2022 365

Câu 9:

Cho hàm số y = mx4 – (m2 – 1)x2 + 1. Khẳng định nào sau đây là sai?

Xem đáp án » 18/01/2022 332

Câu 10:

Số điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x4 + 100 là:

Xem đáp án » 18/01/2022 324

Câu 11:

Hàm số y=x2-4x+1x+1 có hai điểm cực trị là x1, x2 khi đó tích x1x2 bằng

Xem đáp án » 18/01/2022 258

Câu 12:

Cho hàm số y=x2+3x-1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án » 18/01/2022 257

Câu 13:

Cho hàm số y=13x3+x2-7x+3 đạt cực trị tại x1, x2. Tính T = x13 + x23

Xem đáp án » 18/01/2022 248

Câu 14:

Tìm x (nếu có) của hàm số 

Xem đáp án » 18/01/2022 247

Câu 15:

Cho các phát biểu sau:

I. Đồ thị hàm số có y = x4 – x + 2 có trục đối xứng là Oy.

II. Hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng (a;b) đạt cực trị tại điểm x0 thuộc khoảng (a;b) thì tiếp tuyến tại điểm M(x0,f(x0)) song song với trục hoành.

III. Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì hàm số không có cực trị trên khoảng (a;b).

IV. Hàm số f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) và đạt cực tiểu tại điểm x0 thuộc khoảng (a;b) thì f(x) nghịch biến trên khoảng (a;x0) và đồng biến trên khoảng (x0;b).

Các phát biểu đúng là:

Xem đáp án » 18/01/2022 246

LÝ THUYẾT

1. Tính đơn điệu của hàm số

1.1 Nhắc lại định nghĩa

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là

x1 < x2  f(x1) < f(x2).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là

x1 < x2 f(x1) > f(x2).

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f(x) đồng biến trên K f(x2)-f(x1)x2-x1>0;x1;x2K;(x1x2)..

f(x) nghịch biến trên K f(x2)-f(x1)x2-x1< 0;x1;x2K;(x1x2)..

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

Ôn tập Toán 12 Chương 1 (ảnh 1)

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Ôn tập Toán 12 Chương 1 (ảnh 1)

1.2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

- Định lí:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

- Chú ý:

Nếu f’(x) = 0 với xK thì f(x) không đổi trên K.

Ví dụ. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

a) y = x2 + 2x – 10;

b) y=x+ 52x-3..

Lời giải:
a) Hàm số đã cho xác định với mọi xR.

Ta có  đạo hàm y’ = 2x + 2

Và y’ = 0 khi x = – 1.

Lập bảng biến thiên:

Ôn tập Toán 12 Chương 1 (ảnh 1)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-1;+) và  nghịch biến trên khoảng (-;-1).

b) y=x+ 52x-3

Hàm số đã cho xác định với x32

Ta có: y'=-13(2x-3)2<0x32

Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-;32) (32;+).

 - Chú ý:

Ta có định lí mở rộng sau đây:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)0(f'(x)0);xK 

Và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

Ví dụ.  Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x3 – 6x2 + 12x – 10.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x R.

Ta có: y’ = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2

Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với x2.

Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên R.

2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

2.1 Quy tắc

- Bước 1. Tìm tập xác định.

- Bước 2. Tính đạo hàm  f’(x). Tìm các điểm xi  ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2.2 Áp dụng

Ví dụ. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = 4x3 – 4x

y’ = 0 [x=0x=±1

Bảng biến thiên:

Ôn tập Toán 12 Chương 1 (ảnh 1)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và (1;+)

Hàm số nghịch biến trên (-;-1) và (0; 1).

Ví dụ.  Cho hàm số y=-x3+6x2-  9x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9

Và y’ = 0 [x=  1x= 3

Bảng biến thiên:

Ôn tập Toán 12 Chương 1 (ảnh 1)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên (-;  1) (3;+).

3. Khái niệm cực đại, cực tiểu.

- Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là -; b là +) và điểm x0 (a; b).

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x(x0 – h; x0 + h) và xx0thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x(x0 – h; x0 + h) và xx0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.

- Chú ý:

1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.

Kí hiệu là f (fCT) còn điểm M(x0; f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2. Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f’(x0) = 0.

4. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

- Định lí 1

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h; x0 + h) và có đạo hàm trên K  hoặc trên K \ {x0}; với h > 0.

a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x0 – h; x0) và f’(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x0 – h; x0) và f’(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Ôn tập Toán 12 Chương 1 (ảnh 1)

Ví dụ. Tìm các điểm cực trị của hàm số y = – 2x3 + 3x2.

Lời giải:

Hàm số xác định với mọi x.

Ta có: y’ = – 6x2 + 6x

Và y’ = 0 [x=0x=1

Bảng biến thiên:

Ôn tập Toán 12 Chương 1 (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên, suy ra x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số và x = 1 là điểm cực đại của hàm số.

Ví dụ. Tìm các điểm cực trị của hàm số y=2-x2x+ 2.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với x-1.

Ta có: y'=-6(2x+2)2<0

Vậy hàm số đã cho không có cực trị (vì theo khẳng định 3 của chú ý trên, nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì y’(x0) = 0).

5. Quy tắc tìm cực trị .

- Quy tắc 1.

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

- Định lí 2.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo  hàm cấp hai trong khoảng (x0 – h; x0 + h) với h > 0. Khi đó:

a) Nếu f’(x0) = 0; f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu;

b) Nếu f’(x0) = 0; f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.

- Quy tắc II.

1. Tìm tập xác định

2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu xi ( i = 1; 2; ….; n) là các nghiệm của nó.

3. Tính f”(x) và f”(xi).

4. Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

- Ví dụ. Tìm cực trị của hàm số f(x)=x4-  2x2+  10.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x

Ta có: f’(x) = 4x3 – 4x

f'(x)=0[x=0x=±1

Ta có: f”(x) = 12x2 – 4

Suy ra: f”(0) = – 4 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại.

f”(1) = f”(– 1)  = 8 > 0 nên x = 1 và x = –1 là điểm cực tiểu.

Kết luận:

Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 1 và x = – 1; fCT = f(1) = f(–1) = 9.

Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = 0 và fCD = f(0) = 10.

6. Định nghĩa GTLN, GTNN

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x)M với mọi x thuộc D và tồn tại x0D sao cho f(x0) = M.

Kí hiệu: M=maxDf(x).

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu  f(x)mvới mọi x thuộc D và tồn tại x0D sao cho f(x0) = m.

Kí hiệu:m=minDf(x).

- Ví dụ. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Ôn tập Toán 12 Chương 1 (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số không có giá trị lớn nhất.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 9 tại x = – 3.

7. Cách tính giá trị  lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

1. Định lí.

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

- Nhận xét:

Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.

Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm xi (xi < xi+ 1) mà tại đó f’(x) bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số y = f(x) đơn điệu trên mỗi khoảng (xi;  xi+1). Rõ ràng, giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [a; b] là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a; b và tại các điểm xi nói trên.

- Quy tắc:

1. Tìm các điểm x1; x2; …; xn trên khoảng (a; b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.

2. Tính f(a); f(x1); f(x2); ….; f(xn); f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

M=max[a;b]f(x);m=min[a;b]f(x).

- Chú ý: Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Chẳng hạn hàm số f(x)=1x không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; 1).

Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một khoảng như ví dụ sau:

Ví dụ. Tìm giá trị lón nhất, nhỏ nhất của hàm số y=2x-x2 trên khoảng (0;32).

Lời giải:

Điều kiện: 2x – x2 00x2.

Ta có:

y'=(2x-x2)'22x-x2=1-x2x-x2y'=01-x=0x=1

Bảng biến thiên:

Ôn tập Toán 12 Chương 1 (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên trên ta thấy, trên khoảng (0;32) hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x = 1 và tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất Max(0;32)f(x)=f(1)=1.

8. Đường tiệm cận

8.1 Đường tiệm cận ngang

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a;+);(-;b);(-;+). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

limx +f(x)=y0;limx -f(x)=y0.

Ví dụ. Cho hàm số y=x+2x2+  1.

Hàm số xác định trên khoảng (-;+).

Đồ thị hàm số  có tiệm cận ngang là y = 0 vìlimx +x+2x2+  1=0;limx -x+2x2+  1=0.

8.2 Đường tiệm cận đứng

- Định nghĩa:

Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

limxx0+f(x)=+;limxx0+f(x)=-;limxx0-f(x)=+;limxx0-f(x)=-.

- Ví dụ. Tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=x+ 2x-4.

Lời giải:

Ta có: limx +x+2x- 4=1;limx -x+2x-4=1 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.

Lại có: limx4+x+  2x-  4=+;limx4-x+  2x-4=-;

Suy ra:  đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 4.

9. Sơ đồ khảo sát hàm số

1. Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số.

2. Sự biến thiên.

+ Xét chiều biến thiên của hàm số.

 - Tính đạo hàm y’.

 - Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định.

 - Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên (ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).

3. Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố ở trên để vẽ đồ thị hàm số.

- Chú ý:

1. Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.

2. Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

3. Nên lưu ý tính chẵn, lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

10. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức.

10.1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx  + d (a ≠ 0)

Ví dụ. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3  + 3x2 – 1

Lời giải:

1. Tập xác định: R.

2. Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên:

y’ = 3x2 + 6x;   y’ = 0[x= 0x=2

Trên các khoảng (-;  0)<

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »