Thứ sáu, 13/12/2024
IMG-LOGO

Câu hỏi:

22/07/2024 313

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 3x2-1

A. x3-x+C

Đáp án chính xác

B. 6x+C

C. x3+C

D. x33+C

 Xem lời giải  Xem lý thuyết

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Ta có: ∫(3x2-1)dx=x3-x+C

Vậy đáp án A đúng.

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Xem đáp án » 04/02/2022 5,364

Câu 2:

Tìm nguyên hàm của hàm số 7x

Xem đáp án » 04/02/2022 3,507

Câu 3:

Khẳng định nào sau đây là sai ?

Xem đáp án » 04/02/2022 2,708

Câu 4:

bằng

Xem đáp án » 04/02/2022 2,106

Câu 5:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)=sinx-8x

Xem đáp án » 04/02/2022 1,444

Câu 6:

Hàm số là một nguyên hàm của hàm số  trên  nếu

Xem đáp án » 04/02/2022 1,365

Câu 7:

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số 

Xem đáp án » 04/02/2022 426

Câu 8:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số sinx-6x2

Xem đáp án » 04/02/2022 328

Câu 9:

6x5dx bằng

Xem đáp án » 04/02/2022 240

Câu 10:

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số (2+e3x)2 . Chọn đáp án đúng.

Xem đáp án » 04/02/2022 239

Câu 11:

Họ các nguyên hàm dxx bằng

Xem đáp án » 04/02/2022 223

Câu 12:

Nguyên hàm của hàm số  32x+1

Xem đáp án » 04/02/2022 221

Câu 13:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  là

Xem đáp án » 04/02/2022 215

Câu 14:

x3dx bằng.

Xem đáp án » 04/02/2022 208

LÝ THUYẾT

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R. 

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi xK.

Ví dụ 1.

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng (-;+) vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với x(-;+).

- Hàm số F(x)=x+ 2x-3 là một nguyên hàm của hàm số f(x)=-5(x-3)2 trên khoảng (-;  3)(3;+) 

F'(x)=(x+ 2x-3)'=-5(x-3)2=f(x) với x(-;  3)(3;+).

 - Định lí 1.

 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F(x)+C;CR là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: f(x)𝑑x=F(x)+C .

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ 2.

a) Với x(-;+) ta có: ∫x3𝑑x=x44+C;

b) Với x(-;+) ta có: ∫ex𝑑x=ex+C;

c) Với x(0;+) ta có: 12x𝑑x=x+C.

2. Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

∫f'(x)𝑑x=f(x)+C

Ví dụ 3.

(4x)'𝑑x=∫4x.ln4.dx=  4x+C

- Tính chất 2.

kf(x)𝑑x=k.f(x)𝑑x  (k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

[f(x)±g(x)]𝑑x=f(x)𝑑x±g(x)𝑑x.

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=  3x2+  2sinx trên khoảng (-;+).

Lời giải:

Với x(-;+) ta có:

(3x2+ 2sinx)𝑑x=3x2𝑑x+  2sinxdx=x3+ 2.(-cosx) +C =x3-2cosx +C

3. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ví dụ 5.

a) Hàm số y=x có nguyên hàm trên khoảng (0;+).

x𝑑x=∫x12𝑑x=23x32+C=23xx+C

b) Hàm số y = 1x có nguyên hàm trên khoảng (-;  0)(0;+)

1x𝑑x=ln|x|+C

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

0𝑑x=C

∫axdx=axlna+C(a> 0;a1)

𝑑x=x+C

cosxdx= sinx +C

∫xαdx=1α + 1xα +1+C(α  -1)

sinxdx=-cosx + C

1x𝑑x=ln|x|+C

1cos2x𝑑x=tanx+C

∫ex𝑑x=ex+C

1sin2x𝑑x=-cotx+C

 Ví dụ 6. Tính:

a) (3x4+x3)𝑑x

b) (5ex- 4x+ 2)𝑑x

Lời giải:

a)

(3x4+x3)𝑑x=3x4𝑑x+x3𝑑x=  3x4𝑑x+x13𝑑x

=  3.x55+34.x43+C=3x55+3xx34+C

 b) (5ex- 4x+ 2)𝑑x

= 5ex𝑑x-  16.∫ 4x𝑑x=  5.ex-16.4xln4+C

- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

II. Phương pháp tính nguyên hàm.

1.  Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu f(u)𝑑u=F(u)+C  và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

f(u(x)).u'(x)dx=F(u(x))+C.

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

f(ax+b)𝑑x=1aF(ax+b)+C.

Ví dụ 7. Tính (3x+ 2)3𝑑x.

Lời giải:

Ta có: ∫u3𝑑u=u44+C nên theo hệ quả ta có:

(3x+ 2)3𝑑x=(3x+2)44+C.

Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

Ví dụ 8. Tính sinx.cos2xdx.

Lời giải:

Đặt u = cosx. Suy ra: du = – sinx. dx

Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành:

∫u2.(-du)= -∫u2𝑑u =-u33+C

Thay u = cosx vào kết quả ta được:

sinx.cos2xdx=-cos3x3+C

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

u(x).v'(x).dx=u(x).v(x)-∫u'(x).v(x)dx.

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

u𝑑v=uv-v𝑑u.

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Ví dụ 9. Tính

a) xlnxdx;

b) xsinxdx;

c) (5-x).exdx

Lời giải:

a) xlnxdx

Đặt {u=lnxdv=xdx{du=1xdxv=x22

Ta có:

 xlnxdx=x22.lnx-x22.1xdx

=x22.lnx-12x𝑑x=x22.lnx-12.x22+C

=x22.lnx-x24+C.

b) xsinxdx;

Đặt {u=xdv=sinxdx{du=dxv=-cosx

Khi đó:

xsinxdx=-x.cosx +cosxdx= -x.cosx +sinx +C

c) (5-x).exdx

Đặt {u=5-xdv=exdx{du= -dxv=ex

Khi đó:

(5-x).exdx=(5-x).ex--exdx

=(5-x).ex+∫ex𝑑x

=(5-x).ex+ex+C.

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »