Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin5x + 2 là:
A. 5cos5x+C
B. −cos5x+2x+C
C. cos5x+2x+C
D. cos5x+2x+C
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Một vận động viên đua xe F1 đang chạy với vận tốc 10 m/s thì anh ta tăng tốc với gia tốc . Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc. Hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian 10s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?
Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau Giá trị của bằng:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn F(0) = 1. Tìm F(x)
Biết hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số có đồ thị đi qua điểm (e;2016). Khi đó giá trị F(1) là:
1. Nguyên hàm.
- Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi .
Ví dụ 1.
- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với .
- Hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng
Vì với .
- Định lí 1.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
- Định lí 2.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
Do đó là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.
Kí hiệu: .
- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.
Ví dụ 2.
a) Với ta có: ;
b) Với ta có: ;
c) Với ta có: .
2. Tính chất của nguyên hàm
- Tính chất 1.
Ví dụ 3.
- Tính chất 2.
(k là hằng số khác 0).
- Tính chất 3.
.
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số trên khoảng .
Lời giải:
Với ta có:
Định lí:
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Ví dụ 5.
a) Hàm số có nguyên hàm trên khoảng .
b) Hàm số y = có nguyên hàm trên khoảng
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Ví dụ 6. Tính:
a)
b)
Lời giải:
a)
- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
II. Phương pháp tính nguyên hàm.
- Định lí 1.
Nếu và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:
.
Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:
.
Ví dụ 7. Tính .
Lời giải:
Ta có: nên theo hệ quả ta có:
.
Chú ý:
Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).
Ví dụ 8. Tính .
Lời giải:
Đặt u = cosx. Suy ra: du = – sinx. dx
Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành:
Thay u = cosx vào kết quả ta được:
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
- Định lí 2.
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
.
- Chú ý.
Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:
.
Đó là công thức nguyên hàm từng phần.
Ví dụ 9. Tính
a) ;
b) ;
c)
Lời giải:
a)
Đặt
Ta có:
.
b) ;
Đặt
Khi đó:
c)
Đặt
Khi đó: