Nếu u(t)=v(x) thì:

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R. 

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi $x\in K$.

Ví dụ 1.

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$ vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với $\forall x\in (-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$.

- Hàm số $F\left(x\right)=\frac{x+\mathrm{\hspace{0.17em}2}}{x-3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{-5}{{(x-3)}^2}$ trên khoảng $(-\mathrm{\infty };\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3})\cup (3;+\mathrm{\infty })$ 

Vì $F^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{x+\mathrm{\hspace{0.17em}2}}{x-3}\right)}^{\text{'}}=\frac{-5}{{(x-3)}^2}=f\left(x\right)$ với $\forall x\in (-\mathrm{\infty };\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3})\cup (3;+\mathrm{\infty })$.

 - Định lí 1.

 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó $F\left(x\right)+C;C\in R$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: $\int f\left(x\right)𝑑x=F\left(x\right)+C$ .

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ 2.

a) Với $x\in (-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$ ta có: ${\int x}^3𝑑x=\frac{x^4}{4}+C$;

b) Với $x\in (-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$ ta có: ${\int e}^x𝑑x=e^x+C$;

c) Với $x\in (0;+\mathrm{\infty })$ ta có: $\int \frac{1}{2\sqrt{x}}𝑑x=\sqrt{x}+C$.

2. Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

${\int f}^{\text{'}}\left(x\right)𝑑x=f\left(x\right)+C$

Ví dụ 3.

$\int {\left(4^x\right)}^{\text{'}}𝑑x={\int 4}^x.\ln 4.dx={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}4}}^x+C$

- Tính chất 2.

$\int kf\left(x\right)𝑑x=k.\int f\left(x\right)𝑑x$  (k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

$\int [f\left(x\right)\pm g\left(x\right)]𝑑x=\int f\left(x\right)𝑑x\pm \int g\left(x\right)𝑑x$.

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}{x}^2+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}\sin x$ trên khoảng $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$.

Lời giải:

Với $x\in (-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$ ta có:

$\begin{array}{c}\int (3x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}2}\sin x)𝑑x=\int 3x^2𝑑x+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}\int \sin xdx=x^3+\mathrm{\hspace{0.17em}2}.(-c\mathrm{osx})\mathrm{ }+\mathrm{C}\mathrm{ }={\mathrm{x}}^3-2c\mathrm{osx}\mathrm{ }+\mathrm{C}\end{array}$

3. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ví dụ 5.

a) Hàm số $y=\sqrt{x}$ có nguyên hàm trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$.

$\int \sqrt{x}𝑑x={\int x}^{\frac{1}{2}}𝑑x=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

b) Hàm số y = $\frac{1}{x}$ có nguyên hàm trên khoảng $(-\mathrm{\infty };\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}0})\cup (0;+\mathrm{\infty })$

$\int \frac{1}{x}𝑑x=\ln \left|x\right|+C$

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

 Ví dụ 6. Tính:

a) $\int (3x^4+\sqrt[3]{x})𝑑x$

b) $\int (5e^x-{\mathrm{\hspace{0.17em}4}}^{x+\mathrm{\hspace{0.17em}2}})𝑑x$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{c}\int (3x^4+\sqrt[3]{x})𝑑x=\int 3x^4𝑑x+\int \sqrt[3]{x}𝑑x=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}\int x^4𝑑x+\int x^{\frac{1}{3}}𝑑x\end{array}$

$=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}.\frac{x^5}{5}+\frac{3}{4}.x^{\frac{4}{3}}+C=\frac{3x^5}{5}+\frac{3x\sqrt[3]{x}}{4}+C$

 b) $\int (5e^x-{\mathrm{\hspace{0.17em}4}}^{x+\mathrm{\hspace{0.17em}2}})𝑑x$

$\begin{array}{c}=\mathrm{\hspace{0.17em}5}\int e^x𝑑x-\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}16}.{\int \hspace{0.17em}4}^x𝑑x=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}5}.e^x-16.\frac{4^x}{\ln 4}+C\end{array}$

- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

II. Phương pháp tính nguyên hàm.

1.  Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu $\int f\left(u\right)𝑑u=F\left(u\right)+C$  và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

$\int f(u\left(x\right)).u^{\text{'}}\left(x\right)dx=F(u\left(x\right))+C$.

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

$\int f(ax+b)𝑑x=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$.

Ví dụ 7. Tính $\int {(3x+\mathrm{\hspace{0.17em}2})}^3𝑑x$.

Lời giải:

Ta có: ${\int u}^3𝑑u=\frac{u^4}{4}+C$ nên theo hệ quả ta có:

$\int {(3x+\mathrm{\hspace{0.17em}2})}^3𝑑x=\frac{{(3x+2)}^4}{4}+C$.

Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

Ví dụ 8. Tính $\int \sin x.c{\mathrm{os}}^{2}xdx$.

Lời giải:

Đặt u = cosx. Suy ra: du = – sinx. dx

Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành:

${\int u}^2.(-du)=\mathrm{ }-{\int u}^2𝑑u\mathrm{ }=-\frac{u^3}{3}+C$

Thay u = cosx vào kết quả ta được:

$\int \sin x.c{\mathrm{os}}^{2}xdx=\frac{-c{\mathrm{os}}^{3}x}{3}+C$

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

$\int u\left(x\right).v^{\text{'}}\left(x\right).dx=u\left(x\right).v\left(x\right)-{\int u}^{\text{'}}\left(x\right).v\left(x\right)dx$.

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

$\int u𝑑v=uv-\int v𝑑u$.

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Ví dụ 9. Tính

a) $\int x\ln xdx$;

b) $\int x\sin xdx$;

c) $\int (5-x).e^{x}dx$

Lời giải:

a) $\int x\ln xdx$

Đặt $\{\begin{array}{c}u=\ln x\\ dv=xdx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}du=\frac{1}{x}dx\\ v=\frac{x^2}{2}\end{array}$

Ta có:

 $\int x\ln xdx=\frac{x^2}{2}.\ln x-\int \frac{x^2}{2}.\frac{1}{x}dx$

$=\frac{x^2}{2}.\ln x-\frac{1}{2}\int x𝑑x=\frac{x^2}{2}.\ln x-\frac{1}{2}.\frac{x^2}{2}+C$

$=\frac{x^2}{2}.\ln x-\frac{x^2}{4}+C$.

b) $\int x\sin xdx$;

Đặt $\{\begin{array}{c}u=x\\ dv=\sin xdx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}du=dx\\ v=-c\mathrm{osx}\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{c}\int x\sin xdx=-x.c\mathrm{osx}\mathrm{ }+\int \mathrm{cosxdx}=\mathrm{ }-x.c\mathrm{osx}\mathrm{ }+\mathrm{sinx}\mathrm{ }+\mathrm{C}\end{array}$

c) $\int (5-x).e^{x}dx$

Đặt $\{\begin{array}{c}u=5-x\\ dv=e^{x}dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}du=\mathrm{ }-dx\\ v=e^x\end{array}$

Khi đó:

$\int (5-x).e^{x}dx=(5-x).e^x-\int -e^{x}dx$

$=(5-x).e^x+{\int e}^x𝑑x$

$=(5-x).e^x+e^x+C.$