Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB = 2a, AC = 3a, AD = 4a. Thể tích của khối tứ diện đó là:

I. Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V_(H) thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V_(H) = 1.

b) Nếu hai khối đa diện (H₁) và (H₂) bằng nhau thì V_(H1) = V_(H2).

c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H₁) và (H₂) thì:

V_(H) = V_(H1) + V_(H2).

Số dương V_(H) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H). Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H).

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

- Định lí : Thể tích của khối hình chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

II. Thể tích của khối lăng trụ.

Định lí: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = B.h

Ví dụ 1. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm BC .

Ta có; ∆ABC đều nên

$AI=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\mathrm{\hspace{0.17em}2}\sqrt{3};AI\perp BC$

Suy ra: $A^{\text{'}}I\perp BC$ (định lí 3 đường vuông góc)

Ta có: $S{}_{A^{\text{'}}BC}=\frac{1}{2}BC.A^{\text{'}}I\Rightarrow A^{\text{'}}I=\frac{2S_{A^{\text{'}}BC}}{BC}=4$

Vì $A{A}^{\text{'}}\perp (ABC)\Rightarrow A{A}^{\text{'}}\perp AI$

Xét tam giác A’AI có : $A{A}^{\text{'}}=\sqrt{A^{\text{'}}{I}^2-A{I}^2}\mathrm{ }=2$          

Vậy : V_{ABC.A’B’C’} = S_ABC .AA' = $\frac{1}{2}AI.BC.A{A}^{\text{'}}=8\sqrt{3}.$

III. Thể tích khối chóp.

Định lí. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:$V=\frac{1}{3}B.h.$

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết  SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60^o. Tính thể tích hình chóp.

Lời giải :

Gọi M là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC đều nên AM $\perp$BC (định lí 3 đường vuông góc).

Vậy góc[(SBC);(ABC)] = $\widehat{SMA}={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}60}}^0.$

Tam giác ABC đều cạnh a nên đường cao $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SAM có : SA = AM.tan60⁰ = $\frac{3a}{2}$

Vậy  V = $\frac{1}{3}B.h=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.SA=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}AM.BC.SA=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$