Cho khối hộp ABCD. A'B'C'D' có đáy là hình chữ nhật với . Hai mặt bên (ABB'A') và (ADD'A') cùng tạo với đáy góc 450, cạnh bên của hình hộp bằng 1 (hình vẽ). Thể tích khối hộp là:
A.
B.
C. 5
D.
Chọn A
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABCD);
Theo giả thiết, ta có
ΔHKA' = ΔHIA' HI = HK
tứ giác AIHK là hình vuông cạnh a, (a>0) AH =
Tam giác A'HK vuông cân tại H có HK = HA' = a
Tam giác AHA' vuông tại H có AA'² = AH² + A'H²
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình chóp S. ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA=SB=SC=a. Sin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng:
Cho tứ diện OABC biết OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, biết OA=3, OB=4 và thể tích khối tứ diện OABC bằng 6. Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng:
Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có thể tích bằng 2110. Biết (MNP), DN=3ND', CP=2C'P như hình vẽ. Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng:
Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AC và vuông góc với mặt phẳng (SCD), cắt đường thẳng SD tại E. Gọi V và V₁ lần lượt là thể tích các khối chóp S.ABCD và D.ACE. Tính số đo góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCD biết V = 5
Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC hợp với đáy một góc 300, M là trung điểm của AC. Tính thể tích khối chóp S. BCM.
Xét tứ diện ABCD có các cạnh AC=CD=DB=BA=2 và AD, BC thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng:
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, biết SC = . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SD, CD, BC. Tính thể tích khối chóp AMNPQ
Cho điểm M nằm trên cạnh SA, điểm N nằm trên cạnh SB của hình chóp tam giác S. ABC sao cho Mặt phẳng (α) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2 phần. Gọi V₁ là thể tích của khối đa diện chứa A, V₂ là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số
Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB' và CC'. Mặt phẳng (AMN) chia khối lăng trụ thành hai phần. Gọi V₁ là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh B' và V₂ là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số
mặt phẳng (SCD), cắt đường thẳng SD tại E. Gọi V và V₁ lần lượt là thể tích các khối chóp S.ABCD và D.ACE. Tính số đo góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCD biết V = 5 V 1
Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB=BC=CD=DA=1 và AC, BD thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD bằng:
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB, N thuộc cạnh SD sao cho SN = 2ND. Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SM bằng . Tính thể tích của khối chóp đã cho theo a.
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'
1. Khối lăng trụ và khối chóp.
- Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy.
Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.
- Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy.
- Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn nó.
Ví dụ. Ứng với hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH ta có khối lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH; ứng với hình chóp tứ giác S.ABCD ta có khối chóp tứ giác S.ABCD.
- Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh đáy, cạnh bên… của một hình lăng trụ (hình chóp hay hình chóp cụt) theo thứ tự là đỉnh; cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh đáy, cạnh bên… của khối lăng trụ (khối chóp hay khối chóp cụt) tương ứng.
- Điểm không thuộc khối lăng trụ được gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ, điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ. Điểm trong hay điểm ngoài của khối chóp, khối chóp cụt cũng được định nghĩa tương tự.
2. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện
2.1 Khái niệm về hình đa diện
Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất sau:
a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
- Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là đỉnh, cạnh của hình đa diện.
2.2 Khái niệm về khối đa diện
- Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
- Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện.
Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
- Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.
Ví dụ.
- Các hình dưới đây là những khối đa diện
- Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện.
3. Hai đa diện bằng nhau.
3.1 Phép dời hình trong không gian.
- Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.
- Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.
- Ví dụ. Trong không gian, các phép biến hình sau đây gọi là phép dời hình :
a) Phép tịnh tiến theo vectơ , là phép biến hình, biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho .
b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P), là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM’.
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H).
c) Phép đối xứng tâm O, là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’.
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H).
d) Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (hay phép đối xứng qua trục ∆) là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng ∆ thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ∆ thành điểm M’ sao cho ∆ là đường trung trực của MM’.
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng ∆ biến hình (H) thành chính nó thì ∆ gọi là trục đối xứng của (H) .
Nhận xét:
+ Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
+ Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H’), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H’).
3.2 Hai hình bằng nhau
- Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Đặc biệt, hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia.
- Ví dụ. Phép đối xứng tâm O biến đa diện (H) thành đa diện (H’). Phép đối xứng trục ∆, biến đa diện (H’) thành đa diện (H”). Do đó, phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình trên biến hình (H) thành hình (H”) .
Từ đó, suy ra các hình (H); (H’) và (H”) là bằng nhau.
4. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện
Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1) và (H2) sao cho (H1) và (H2) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp ghép hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được khối đa diện (H).
- Ví dụ. Với khối chóp tứ giác S.ABCD, ta hãy xét hai khối chóp tam giác S.ABC và S.ACD.
Ta thấy rằng:
+ Hai khối chóp S.ABC và S.ACD không có điểm trong chung.
+ Hợp của hai khối chóp S.ABC và S.ACD chính là khối chóp S.ABCD.
Vậy khối chóp S.ABCD được phân chia thành hai khối chóp tam giác là S.ABC và S.ACD .
- Nhận xét. Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia thành những khối tứ diện.
5. Khối đa diện lồi.
Khối đa diện lồi (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi.
Ví dụ. Các khối chóp tam giác, tứ giác, các khối lăng trụ tam giác, khối lăng trụ tứ giác… đều là những khối đa diện đều.
- Người ta chứng minh được rằng, một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miềm trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó.
6. Khối đa diện đều.
- Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p; q}.
Từ định nghĩa trên ta thấy các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều bằng nhau.
- Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là các loại {3; 3}; loại {4; 3}; loại {3; 4}; loại {5; 3} và loại {3; 5}.
Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo thứ tự gọi là các khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều (hay khối tám mặt đều), khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều.
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều.
Loại |
Tên gọi |
Số đỉnh |
Số cạnh |
Số mặt |
{3; 3} |
Tứ diện đều |
4 |
6 |
4 |
{4; 3} |
Lập phương |
8 |
12 |
6 |
{3; 4} |
Bát diện đều |
6 |
12 |
8 |
{5; 3} |
Mười hai mặt đều |
20 |
30 |
12 |
{3; 5} |
Hai mươi mặt đều |
12 |
30 |
20 |
Ví dụ. Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng các mặt của nó phải là một số chẵn.
Lời giải:
Gọi số cạnh và số mặt của đa diện lần lượt là c và m .
Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là
Do đó, 3m chia hết cho 2 mà 3 không chia hết cho 2 nên m phải chia hết cho 2, nghĩa là m là số chẵn.
Vậy nếu khối đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng các mặt của nó phải là một số chẵn.
7. Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn các tính chất sau:
a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) = 1.
b) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V(H1) = V(H2).
c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì:
V(H) = V(H1) + V(H2).
Số dương V(H) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H). Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H).
Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.
- Định lí : Thể tích của khối hình chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
8. Thể tích của khối lăng trụ.
Định lí: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = B.h
Ví dụ. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm BC .
Ta có; ∆ABC đều nên
Suy ra: (định lí 3 đường vuông góc)
Ta có:
Vì
Xét tam giác A’AI có :
Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA' = .
9. Thể tích khối chóp.
Định lí. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp.
Lời giải :
Gọi M là trung điểm của BC.
Vì tam giác ABC đều nên AM BCSABC (định lí 3 đường vuông góc).
Vậy góc[(SBC);(ABC)] = .
Tam giác ABC đều cạnh a nên đường cao
Xét tam giác SAM có : SA = AM.tan600 =
Vậy V = .