Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;-1), B(5;4;-4). Khoảng cách giữa hai điểm A và B là:

I. Tọa độ của điểm và của vecto

1. Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz  vuông góc với nhau từng

đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các

trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian,

hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt

phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.

- Vì $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:

${\overrightarrow{i}}^2={\overrightarrow{j}}^2={\overrightarrow{k}}^2=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}$.

2. Tọa độ của một điểm

- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ không đồng

phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:

$\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}\mathrm{ }+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}$

- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}$.

- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = (x; y; z) hoặc M (x; y; z).

3.Tọa độ của vecto

- Trong không gian Oxyz cho vecto $\overrightarrow{a}$, khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a₁; a₂ ; a₃) sao cho $\overrightarrow{a}=a_1.\overrightarrow{i}+a_2.\overrightarrow{j}+a_3.\overrightarrow{k}$.

Ta gọi bộ ba số (a₁; a₂ ; a₃) là tọa độ của vecto $\overrightarrow{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết $\overrightarrow{a}\mathrm{ }=(a1;a2;a3)$ hoặc $\overrightarrow{a}(a1;a2;a3)$.

 - Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto $\overrightarrow{OM}$.

Ta có: M(x; y; z) $\iff \overrightarrow{OM}(x;y;z)$

II. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto          

- Định lí:  Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

$\overrightarrow{a}\mathrm{ }=(a_1;a_2;a_3),\overrightarrow{b}\mathrm{ }=(b_1;b_2;b_3),k\in R$, ta có:

a) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3)$

b) $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3)$;

c) $k\overrightarrow{a}=(k{a}_1;k{a}_2;k{a}_3)$.

Ví dụ 1. Cho $\overrightarrow{u}(2;-3;\mathrm{\hspace{0.17em}4});\overrightarrow{v}(\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}4};-2;0)$

a) Tính $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$;

b) $2\overrightarrow{v}$;

c) $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}$.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(2+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}4};-3-2;\mathrm{\hspace{0.17em}4}+0)=(6;-5;\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}4})$ ;

b) Ta có: $2\overrightarrow{v}$ = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).

c) Ta có: $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}$= ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)

- Hệ quả:

a) Cho hai vecto $\overrightarrow{a}\mathrm{ }=(a_1;a_2;a_3),\overrightarrow{b}\mathrm{ }=(b_1;b_2;b_3)$, ta có:

$\overrightarrow{a}\mathrm{ }=\overrightarrow{b}\iff \{\begin{array}{c}{a}_1=b_1\\ a_2=b_2\\ a_3=b_3\end{array}$.

b) Vecto $\overrightarrow{0}$ có tọa độ ( 0; 0; 0).

c) Với $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ thì hai vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

 $\overrightarrow{a}\mathrm{ }=k\overrightarrow{b}(k\in R)$

$\iff \{\begin{array}{c}{a}_1=k{b}_1\\ a_2=k{b}_2\\ a_3=k{b}_3\end{array}\iff \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3},(b_1,b_2,b_3\ne 0)$

d) Cho $A(x_A;y_A;z_A),B(x_B;y_B;z_B)$

+ $\overrightarrow{AB}\mathrm{ }=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$        

+ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: 

Ví dụ 2. Cho $\overrightarrow{u}(2m;\mathrm{\hspace{0.17em}3};-1);\overrightarrow{v}(4;\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3};n-2)$. Tìm m và n để $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$

Lời giải:

Để $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$

Vậy m = 2 và n = 1.

Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?

a) $\overrightarrow{u}(\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2};3;7);\overrightarrow{v}(-4;-6;\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}14})$;

b) $\overrightarrow{a}(\mathrm{\hspace{0.17em}1};\mathrm{\hspace{0.17em}0};\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2});\overrightarrow{b}(-3;0;-6)$.

Lời giải:

a) Ta thấy $\frac{2}{-4}=\frac{3}{-6}\ne \frac{7}{14}$

Do đó, hai vecto trên không cùng phương.

b) Ta thấy: $\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{a}$ nên hai vecto trên cùng phương.

Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).

a) Tính  $\overrightarrow{AB}$;

b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}$= ( -1 + 3; 0 - 4; 8 -0) = ( 2; -4; 8).

b)  Tọa độ trung điểm M của AB là:

$\{\begin{array}{c}{x}_M=\frac{-3+(-1)}{2}=-2\\ y_M=\frac{4+\mathrm{\hspace{0.17em}0}}{2}=2\\ z_M=\frac{0+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}8}}{2}=\mathrm{\hspace{0.17em}4}\end{array}\Rightarrow M(-2;2;4)$

III. Tích vô hướng.

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

- Định lí:

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{a}\mathrm{ }=(a_1;a_2;a_3),\overrightarrow{b}\mathrm{ }=(b_1;b_2;b_3)$

được xác định bởi công thức:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3$

Ví dụ 5. Cho $\overrightarrow{a}(1;-3;4);\overrightarrow{b}(1;2;1)$. Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$?

Lời giải:

Ta có:  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ =  1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1

2. Ứng dụng

a) Độ dài của một vecto.

Cho vecto $\overrightarrow{a}\mathrm{ }=(a_1;a_2;a_3)$.

Ta biết rằng: ${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2={\overrightarrow{a}}^2$ hay $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^2}$. Do đó,  $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_2^2}$

b) Khoảng cách giữa hai điểm.

Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(x_A ; y_A ; z_A)

và B(x_B; y_B ; z_B). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto $\overrightarrow{AB}$. Do đó, ta có:

c) Góc giữa hai vecto.

Nếu $\phi$ là góc góc giữa hai vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ với $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ thì $\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$

 Từ đó, suy ra $\overrightarrow{a}\mathrm{ }\perp \overrightarrow{b}\iff a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).

a) Tính AB; AC

b) Tính cosin của góc A.

Lời giải:

a) Ta có:

 $\begin{array}{c}AB=\sqrt{{(2-2)}^2+{(1-3)}^2+{(0-1)}^2}=\sqrt{5}\\ AC=\sqrt{{(0-2)}^2+{(-1-3)}^2+{(2-1)}^2}=\sqrt{21}\end{array}$

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}(0;-2;-1);\overrightarrow{AC}(-2;-4;1)$

Cosin của góc A là:

$\cos A=\cos (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=\frac{0.(-2)+(-2).(-4)+(-1).1}{\sqrt{5}.\sqrt{21}}=\frac{7}{\sqrt{105}}$

IV. Phương trình mặt cầu

- Định lí.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:

( x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²

- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x²  + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a² + b² + c² – r²

Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x²  + y² + z² + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A² + B² + C² – D > 0 là

phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính $r=\sqrt{A^2+B^2+C^2-D}$.

Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x²  + y² + z² – 4x + 2y - 1 = 0;

b) x²  + y² + z² – 8x – 2y + 2z + 2 = 0

Lời giải:

a) Ta có:  a = 2; b = -1; c = 0; d = -1

Tâm mặt cầu là I(2; -1; 0) và bán kính $R=\sqrt{2^2+{(-1)}^2+{\mathrm{\hspace{0.17em}0}}^2-(-1)}=\sqrt{6}$

b) Ta có: a = 4; b = 1; c = -1; d = 2

Tâm mặt cầu là I( 4; 1; -1) và bán kính