Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình là
Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
A.
B.
C.
D.
Đáp án B
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;-2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;-2;3). Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các trục Ox, Oy, Oz. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm thay đổi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó a, b, c khác 0 và thỏa mãn điều kiện 3ab + bc - 2ac = abc . Khoảng cách lớn nhất từ O đến mặt phẳng (ABC) là:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm là A(2;0;0), M(1;1;1). Cho (P) cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại các điểm B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho thể tích của tứ diện OABC nhỏ nhất.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;-2), B(-1;1;1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3;2;1) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho tam giác ABC đều. Số mặt phẳng (P) thỏa mãn bài toán là:
Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2 ;1 ;-3), vuông góc với mặt phẳng (Q): x + y - 3z = 0 đồng thời (P) song song với trục Oz.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;-3;4). Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua các hình chiếu vuông góc của điểm A trên các trục tọa độ:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng song song (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): Ax + By + Cz + D' = 0. M là một điểm di động trên mặt phẳng (P). Khẳng định nào dưới đây có thể sai?
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(-x0; -y0; z0) và phương trình của mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình (m2 - 2m)x + y + (m - 1)z + m2 + m = 0, trong đó m là tham số. Với những giá trị nào của m thì mặt phẳng (P) song song với trục Ox?
Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1 ;0 ;1), B(0 ;-1 ;-3), C(3 ;2 ;5).
Trong không gian Oxyz, gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A(4;3;2) trên các trục Ox, Oy, Oz. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(-2 ;1 ;-2) và vuông góc với trục Oz.
I. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng.
1. Định nghĩa:
Cho mặt phẳng (α). Nếu vecto và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì được gọi là vecto pháp tuyến của (α)
2. Chú ý. Nếu là vecto pháp tuyến của một mặt phẳng thì cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó.
3. Tích có hướng của hai vectơ
- Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ . Tích có hướng của hai vectơ và kí hiệu là , được xác định bởi
- Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1;1); B(-1; 2; 0) và C(0; 1; -2).
Hãy tìm tọa độ của một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Lời giải:
Ta có:
Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là :
.
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
1. Định nghĩa.
- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A; B; C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
- Nhận xét.
a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là .
b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x0; y0; z0) và nhận vectơ khác là vecto pháp tuyến là: A(x- x0 ) + B( y – y0) + C(z – z0) = 0.
Ví dụ 1. Mặt phẳng 2x – y + 3z – 10 = 0 có một vecto pháp tuyến là .
Ví dụ 2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với A(0; 1; -2); B(2; 1; 0); C ( -2; 1; 1)
Lời giải:
Ta có:
Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) là:
0(x – 0) – 10(y – 1) + 0(z + 2) = 0 hay y – 1 = 0.
2. Các trường hợp riêng
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0.
a) Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.
b)
- Nếu thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.
- Nếu thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.
- Nếu thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.
c)
- Nếu A = B = 0; thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).
- Nếu A = C = 0; thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).
- Nếu B = C = 0; thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).
- Nhận xét:
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn . Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với .
Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0); N(0; 3; 0); P(0; 0; 1). Phương trình đoạn chắn của mp(MNP) là:
III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình:
(α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(β): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Hai mặt phẳng (α); (β) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là:
1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.
- Chú ý: Để (α) cắt (β) .
Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(2; 1; 2) và song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0.
Lời giải:
Vì mp(α) song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0 nên
Mặt phẳng (α) đi qua A(2;1; 2) nên có phương trình:
1( x – 2) – 1(y – 1) + 2( z – 2) = 0 hay x – y + 2z – 5 = 0.
2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.
Ví dụ 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 1); B( 2; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x – y + 2z – 1 = 0
Lời giải:
Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là:
Và
Vì nên
Phương trình mặt phẳng (P) là:
0(x – 1) + 4(y – 0) + 2(z – 1) = 0 hay 4y – 2z – 2 = 0
IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x0; y0; z0) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 .
Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α) được tính:
.
Ví dụ 6. Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 0) và N( 1; 1; 1) đến mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0.
Lời giải:
Theo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có:
Ví dụ 7. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được cho bởi phương trình: (P): x – 2y +2z + 3 = 0 và (Q): x – 2y + 2z – 7= 0.
Lời giải:
Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Lấy điểm A(-3; 0; 0) thuộc mặt phẳng (P).
Ta có: .