Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm nào dưới đây?
A.
B.
C.
D.
Đáp án C
Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta được:
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2;-3) và B(3;-1;1)?
Cho hai điểm A(1;-2;0), B(0;1;1), độ dài đường cao OH của tam giác OAB là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 0; 1), B(-1; -2; 0), và C(2; 1; -1). Đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là:
Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB với A(1;1;2) và B(3;-3;0). Phương trình đường trung tuyến OI của tam giác OAB là:
Trong không gian Oxyz, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng và . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của đường thẳng qua M(1;-1;2) và vuông góc với cả
Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A(0;1;1), B(-2;3;1) và C(4;-3;1). Phương trình nào không phải là phương trình tham số của đường chéo BD.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;-3). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC thì độ dài đoạn OH là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng . Đường thẳng d đi qua các điểm nào sau đây?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;3) và đường thẳng . Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song d’. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường thẳng d?
Phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với 2 đường thẳng cho trước: và là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng và . Vị trí tương đối của và là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng . Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d?
I. Phương trình tham số của đường thẳng
- Định lí:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên đường thẳng ∆ là có số thực t thỏa mãn: .
- Định nghĩa:
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương là
Trong đó, t là tham số.
- Chú ý:
Nếu a1 ; a2; a3 đều khác 0 thì ta có thể viết phương trình ∆ dưới dạng chính tắc như sau:
.
Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2;2) và có vecto chỉ phương là
Lời giải:
Phương trình tham số của ∆ là: .
Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(0;1; 2); B(2; 2; 1).
Lời giải:
Đường thẳng AB nhận làm vecto chỉ phương.
Phương trình tham số của AB là: .
II. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau.
1. Điều kiện để hai đường thẳng song song.
Gọi lần lượt là vecto chỉ phương của d và d’.
Lấy điểm M(x0; y0; z0) trên d.
Ta có: d song song với d’ khi và chỉ khi .
Đặc biệt: d trùng với d’ khi và chỉ khi: .
Ví dụ 3. Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song với nhau:
Lời giải:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương đi qua M(3; 2; 2).
Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là
Ta thấy: .
Do đó, hai đường thẳng trên song song với nhau.
2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau.
- Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t và t’ sau:
(I)
Có đúng một nghiệm.
- Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t0 ; t’0), để tìm giao điểm M0 của d và d’ ta có thể thay t0 vào phương trình tham số của d hoặc thay t’0 vào phương trình tham số của d’.
Ví dụ 4. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
Lời giải:
Xét hệ phương trình:
Suy ra, d cắt d’ tại điểm A(4; 1; 3).
3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi không cùng phương và hệ phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 5. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Lời giải:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là
Ta thấy, không tồn tại số thực k để nên hai đường thẳng d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình:
(I)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: t =2; t’ = -1.
Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm.
Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
- Nhận xét:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: .
Xét phương trình A(x0 + ta1 ) + B(y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = 0 ( t là ẩn ) (1)
- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và (P) không có điểm chung.
Vậy d// (P).
- Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t = t0 thì d cắt (P) tại điểm
M(x0 + t0 a1;y0 + t0 a2; z0 + t0 a3).
- Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (P).
Ví dụ 6. Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng (P): 2x – y – z = 0.
Lời giải:
Lấy điểm M(1+ 2t; -t; -2 + t) thuộc đường thẳng d.
Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được:
2(1+ 2t) – (- t) – (-2+ t) = 0
2 + 4t + t + 2 – t = 0
Suy ra đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M( -1; 1; - 3).