Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;-1;0), B(1;0;-2), C(3;-1;-1). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.
A.
B.
C.
D.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . Góc giữa hai đường thẳng bằng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng và
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z + 3 = 0 và đường thẳng . Với giá trị nào của m, n thì d nằm trong (P)?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 3z – 1 = 0 và đường thẳng . Khẳng định nào sau đây đúng:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và 2 điểm A(6;3;-2), B(1;0;-1). Gọi là đường thẳng đi qua B, vuông góc với d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến là nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của có tọa độ:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x – 2y + z – 1 = 0. Biết đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại điểm A(a;b;c). Tính a + b + c
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1;-2) và đường thẳng . Đường thẳng qua A và song song với d có phương trình tham số là:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và . Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa và là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình là: và
Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng bằng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3x + y + z – 5 = 0 và (Q): x + 2y + z – 4 = 0. Khi đó, giao tuyến của (P) và (Q) có phương trình là:
Cho đường thẳng d có phương trình và mặt phẳng (P) có phương trình (P): x + y + z – 10 = 0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình và . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d nhưng thuộc đường thẳng d’?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng và điểm A(1;2;3). Đường thẳng qua A, vuông góc với và cắt có phương trình là:
I. Phương trình tham số của đường thẳng
- Định lí:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên đường thẳng ∆ là có số thực t thỏa mãn: .
- Định nghĩa:
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương là
Trong đó, t là tham số.
- Chú ý:
Nếu a1 ; a2; a3 đều khác 0 thì ta có thể viết phương trình ∆ dưới dạng chính tắc như sau:
.
Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2;2) và có vecto chỉ phương là
Lời giải:
Phương trình tham số của ∆ là: .
Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(0;1; 2); B(2; 2; 1).
Lời giải:
Đường thẳng AB nhận làm vecto chỉ phương.
Phương trình tham số của AB là: .
II. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau.
1. Điều kiện để hai đường thẳng song song.
Gọi lần lượt là vecto chỉ phương của d và d’.
Lấy điểm M(x0; y0; z0) trên d.
Ta có: d song song với d’ khi và chỉ khi .
Đặc biệt: d trùng với d’ khi và chỉ khi: .
Ví dụ 3. Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song với nhau:
Lời giải:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương đi qua M(3; 2; 2).
Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là
Ta thấy: .
Do đó, hai đường thẳng trên song song với nhau.
2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau.
- Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t và t’ sau:
(I)
Có đúng một nghiệm.
- Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t0 ; t’0), để tìm giao điểm M0 của d và d’ ta có thể thay t0 vào phương trình tham số của d hoặc thay t’0 vào phương trình tham số của d’.
Ví dụ 4. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
Lời giải:
Xét hệ phương trình:
Suy ra, d cắt d’ tại điểm A(4; 1; 3).
3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi không cùng phương và hệ phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 5. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Lời giải:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là
Ta thấy, không tồn tại số thực k để nên hai đường thẳng d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình:
(I)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: t =2; t’ = -1.
Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm.
Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
- Nhận xét:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: .
Xét phương trình A(x0 + ta1 ) + B(y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = 0 ( t là ẩn ) (1)
- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và (P) không có điểm chung.
Vậy d// (P).
- Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t = t0 thì d cắt (P) tại điểm
M(x0 + t0 a1;y0 + t0 a2; z0 + t0 a3).
- Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (P).
Ví dụ 6. Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng (P): 2x – y – z = 0.
Lời giải:
Lấy điểm M(1+ 2t; -t; -2 + t) thuộc đường thẳng d.
Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được:
2(1+ 2t) – (- t) – (-2+ t) = 0
2 + 4t + t + 2 – t = 0
Suy ra đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M( -1; 1; - 3).