Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là x²+y²+z²-2x-4y-6z+5=0. Tính diện tích mặt cầu (S).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là...

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=3. Diện tích mặt cầu (S) là S=4π R²=36π.

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\{\begin{cases} x = t \\ y = 1 - t \\ z = 2 + t \end{cases}$ . Đường thẳng d đi qua điểm nào sau đây:

Xem đáp án » 04/03/2022 7,230

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(2;1;-3) bán kính R=4 là:

Xem đáp án » 04/03/2022 4,859

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(1;2;3) đi qua điểm A(1;1;2) có phương trình là:

Xem đáp án » 04/03/2022 4,584

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x²+y²+z²-x+2y+1=0. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S).

Xem đáp án » 04/03/2022 3,975

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x²+y²+z²-2x+6y-6=0. Bán kính của (S) bằng:

Xem đáp án » 04/03/2022 2,261

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x²+y²+z²+2x-4y+6z-2=0. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của (S).

Xem đáp án » 04/03/2022 2,121

Câu 7:

#2H3Y1-3~Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)²+(y+2)²+z²=25. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

Xem đáp án » 04/03/2022 1,867

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² - 2x + 4y - 6z + 9 =0. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S).

Xem đáp án » 04/03/2022 1,524

Câu 9:

#2H3Y1-3~Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x+1)²+(y-2)²+(z-1)²=9. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S).

Xem đáp án » 04/03/2022 1,321

Câu 10:

#2H3Y1-3~Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-5)² + (y-1)² + (z+2)²=9. Tính bán kính R của mặt cầu (S).

Xem đáp án » 04/03/2022 1,238

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): $x - 2 y - 2 z + 3 = 0$ . Tính khoảng cách d từ điểm M(2;1;0) đến mặt phẳng (P).

Xem đáp án » 04/03/2022 1,044

Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu tâm $K (0; 2; 2 \sqrt{2})$ và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) là:

Xem đáp án » 04/03/2022 905

Câu 13:

#2H3Y1-3~Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) đường kính AB với A(4; -3; 5), B(2; 1; 3) là:

Xem đáp án » 04/03/2022 659

Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P: $3 x - 4 y + 5 z - 2 = 0$ . Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng P?

Xem đáp án » 04/03/2022 628

Câu 15:

#2H3Y2-1~Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (1; 3; 2)$ , $B (2; - 1; 5)$ và $C (3; 2; - 1)$ . Gọi $\vec{n}$ là tích có hướng của hai véc-tơ $\vec{A B} v à \vec{A C}$ . Tìm tọa độ véc-tơ $\vec{n}$ .

Xem đáp án » 04/03/2022 573

Xem thêm các câu hỏi khác »

LÝ THUYẾT

1. Hệ tọa độ trong không gian

1.1. Tọa độ của điểm và của vecto

1.1.1. Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng

đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi $\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian,

hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuong góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.

- Vì $\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$ là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:

${\vec{i}}^{2} = {\vec{j}}^{2} = {\vec{k}}^{2} = 1$ .

1.1.2. Tọa độ của một điểm

- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto $\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$ không đồng

phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:

$\vec{O M} = x . \vec{i} + y . \vec{j} + z . \vec{k}$

- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức $\vec{O M} = x . \vec{i} + y . \vec{j} + z . \vec{k}$ .

- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = ( x; y; z) hoặc M (x; y; z).

1.1.3. Tọa độ của vecto

- Trong không gian Oxyz cho vecto $\vec{a}$ , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a₁; a₂ ; a₃) sao cho $\vec{a} = a_{1} . \vec{i} + a_{2} . \vec{j} + a_{3} . \vec{k}$ .

Ta gọi bộ ba số (a₁; a₂ ; a₃) là tọa độ của vecto đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước $\vec{a}$ và viết $\vec{a}$ = (a₁; a₂ ; a₃) hoặc $\vec{a}$ (a₁; a₂ ; a₃).

- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto $\vec{O M}$ .

Ta có: M(x; y; z) $\Leftrightarrow \vec{O M} (x; y; z)$

1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

$\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3}), k \in R$ , ta có:

a) $\vec{a} + \vec{b} = (a_{1} + b_{1}; a_{2} + b_{2}; a_{3} + b_{3})$

b) $\vec{a} - \vec{b} = (a_{1} - b_{1}; a_{2} - b_{2}; a_{3} - b_{3})$ ;

c) $k \vec{a} = (k a_{1}; k a_{2}; k a_{3})$ .

Ví dụ 1. Cho $\vec{u} (2; - 3; 4); \vec{v} (4; - 2; 0)$

a) Tính $\vec{u} + \vec{v}$ ;

b) $2 \vec{v}$ ;

c) $\vec{u} - 2 \vec{v}$ .

Lời giải:

a) $\vec{u} + \vec{v} = (2 + 4; - 3 - 2; 4 + 0) = (6; - 5; 4)$ ;

b) Ta có: $2 \vec{v}$ = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).

c) Ta có: $\vec{u} - 2 \vec{v}$ = ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)

- Hệ quả:

a) Cho hai vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ , ta có:

$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a_{1} = b_{1} \\ a_{2} = b_{2} \\ a_{3} = b_{3} \end{matrix}$ .

b) Vecto $\vec{0}$ có tọa độ ( 0; 0; 0).

c) Với $\vec{b} \neq \vec{0}$ thì hai vecto $\vec{a}; \vec{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

$\vec{a} = k \vec{b} (k \in R)$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} a_{1} = k b_{1} \\ a_{2} = k b_{2} \\ a_{3} = k b_{3} \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}}, (b_{1}, b_{2}, b_{3} \neq 0)$

d) Cho $A (x_{A}; y_{A}; z_{A}), B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$

+ $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$

+ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: $M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$

Ví dụ 2. Cho $\vec{u} (2 m; 3; - 1); \vec{v} (4; 3; n - 2)$ . Tìm m và n để $\vec{u} = \vec{v}$

Lời giải:

Để $\vec{u} = \vec{v}$

Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học (ảnh 1)

Vậy m = 2 và n = 1.

Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?

a) $\vec{u} (2; 3; 7); \vec{v} (- 4; - 6; 14)$ ;

b) $\vec{a} (1; 0; 2); \vec{b} (- 3; 0; - 6)$ .

Lời giải:

a) Ta thấy $\frac{2}{- 4} = \frac{3}{- 6} \neq \frac{7}{14}$

Do đó, hai vecto trên không cùng phương.

b) Ta thấy: $\vec{b} = - 3 \vec{a}$ nên hai vecto trên cùng phương.

Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).

a) Tính $\vec{A B}$ ;

b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{A B}$ = ( -1 + 3; 0 - 4; 8 -0) = ( 2; -4; 8).

b) Tọa độ trung điểm M của AB là:

${\begin{matrix} x_{M} = \frac{- 3 + (- 1)}{2} = - 2 \\ y_{M} = \frac{4 + 0}{2} = 2 \\ z_{M} = \frac{0 + 8}{2} = 4 \end{matrix} \Rightarrow M (- 2; 2; 4)$

1.3. Tích vô hướng.

1.3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

- Định lí:

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ được xác định bởi công thức:

$\vec{a} . \vec{b} = a_{1} . b_{1} + a_{2} . b_{2} + a_{3} . b_{3}$

Ví dụ 5. Cho $\vec{a} (1; - 3; 4); \vec{b} (1; 2; 1)$ . Tính $\vec{a} . \vec{b}$ ?

Lời giải:

Ta có: $\vec{a} . \vec{b}$ = 1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1

1.3.2. Ứng dụng

a) Độ dài của một vecto.

Cho vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ .

Ta biết rằng: ${| \vec{a} |}^{2} = {\vec{a}}^{2}$ hay $| \vec{a} | = \sqrt{{\vec{a}}^{2}}$ . Do đó, $| \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{2}^{2}}$

b) Khoảng cách giữa hai điểm.

Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(x_A ; y_A ; z_A)

và B(x_B; y_B ; z_B). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của

vecto $\vec{A B}$ . Do đó, ta có:

$A B = | \vec{A B} | = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ .

c) Góc giữa hai vecto.

Nếu $φ$ là góc góc giữa hai vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ với $\vec{a}; \vec{b} \neq \vec{0}$ thì $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} . \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}}}$

Từ đó, suy ra $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 0$

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).

a) Tính AB; AC

b) Tính cosin của góc A.

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{matrix} A B = \sqrt{{(2 - 2)}^{2} + {(1 - 3)}^{2} + {(0 - 1)}^{2}} = \sqrt{5} \\ A C = \sqrt{{(0 - 2)}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2} + {(2 - 1)}^{2}} = \sqrt{21} \end{matrix}$

b) Ta có: $\vec{A B} (0; - 2; - 1); \vec{A C} (- 2; - 4; 1)$

Cosin của góc A là:

$\cos A = \cos (\vec{A B}; \vec{A C}) = \frac{0 . (- 2) + (- 2) . (- 4) + (- 1) .1}{\sqrt{5} . \sqrt{21}} = \frac{7}{\sqrt{105}}$

1.4. Phương trình mặt cầu

- Định lí.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:

( x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²

- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a² + b² + c² – r²

Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x² + y² + z² + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A² + B² + C² – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính $r = \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2} - D}$ .

Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x² + y² + z² – 4x + 2y - 1 = 0;

b) x² + y² + z² – 8x – 2y + 2z + 2 = 0

Lời giải:

a) Ta có: a = 2; b = -1; c = 0; d = -1

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là x²+y²+z²-2x-4y-6z+5=0. Tính diện tích mặt cầu (S).

A. 42π

B. 36π

C. 9π

D. 12π.

Trả lời:

Đáp án B Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=3. Diện tích mặt cầu (S) là S=4π R²=36π.

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x=ty=1-tz=2+t. Đường thẳng d đi qua điểm nào sau đây:

Đáp án B

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=3. Diện tích mặt cầu (S) là S=4π R²=36π.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\{\begin{cases} x = t \\ y = 1 - t \\ z = 2 + t \end{cases}$ . Đường thẳng d đi qua điểm nào sau đây: