Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): và ba điểm . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB. AC, BC?
A. 4 mặt cầu
B. 2 mặt cầu
C. 1 mặt cầu
D. Vô số mặt cầu
Trên mặt phẳng (ABC) có 4 điểm M, N, P, Q cách đều AB, BC, AC là tâm đường tròn nội tiếp, 3 tâm đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C do đó có 4 điểm M’, N’, P’, Q’ trên mặt phẳng (P) là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q trên (P) thỏa mãn tính chất cách đều AB, BC, AC.
Tương ứng có 4 mặt cầu tâm M’, N’, P’, Q’ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: A
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu . Đường tròn giao tuyến của (S) với mặt phẳng (Oxy) có bán kính là:
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(-2;5;1) và tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình là:
Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-4) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy). Phương trình mặt cầu (S) là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua hai điểm , có tâm thuộc mặt phẳng , đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính R của mặt cầu (S)?
Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ tâm I của đường tròn giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;-1;0), B(1;1;-1) và mặt cầu . Mặt phẳng (P) đi qua A, B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:
Trong khôn gian Oxyz, cho biết có hai mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng , tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng và . Gọi là bán kính của hai mặt cầu đó. Tỉ số bằng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và mặt phẳng . Gọi (Q) là tiết diện của (S) tại . Tính góc giữa (P) và (Q)
Một quả cầu (S) có tâm I(-1;2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và hai mặt phẳng . Mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiêp xúc với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và mặt phẳng . Biết (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r. Tính r.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(3;4;-2). Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với và song song với
1. Hệ tọa độ trong không gian
1.1. Tọa độ của điểm và của vecto
1.1.1. Hệ tọa độ
Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng
đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.
Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian,
hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.
Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuong góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.
- Vì là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:
.
1.1.2. Tọa độ của một điểm
- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto không đồng
phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:
- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức .
- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = ( x; y; z) hoặc M (x; y; z).
1.1.3. Tọa độ của vecto
- Trong không gian Oxyz cho vecto , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a1; a2 ; a3) sao cho .
Ta gọi bộ ba số (a1; a2 ; a3) là tọa độ của vecto đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết = (a1; a2 ; a3) hoặc (a1; a2 ; a3).
- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto .
Ta có: M(x; y; z)
1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto
- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto
, ta có:
a)
b) ;
c) .
Ví dụ 1. Cho
a) Tính ;
b) ;
c) .
Lời giải:
a) ;
b) Ta có: = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).
c) Ta có: = ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)
- Hệ quả:
a) Cho hai vecto , ta có:
.
b) Vecto có tọa độ ( 0; 0; 0).
c) Với thì hai vecto cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:
d) Cho
+
+ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
Ví dụ 2. Cho . Tìm m và n để
Lời giải:
Để
Vậy m = 2 và n = 1.
Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?
a) ;
b) .
Lời giải:
a) Ta thấy
Do đó, hai vecto trên không cùng phương.
b) Ta thấy: nên hai vecto trên cùng phương.
Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).
a) Tính ;
b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.
Lời giải:
a) Ta có: = ( -1 + 3; 0 - 4; 8 -0) = ( 2; -4; 8).
b) Tọa độ trung điểm M của AB là:
1.3. Tích vô hướng.
1.3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
- Định lí:
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto được xác định bởi công thức:
Ví dụ 5. Cho . Tính ?
Lời giải:
Ta có: = 1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1
1.3.2. Ứng dụng
a) Độ dài của một vecto.
Cho vecto .
Ta biết rằng: hay . Do đó,
b) Khoảng cách giữa hai điểm.
Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(xA ; yA ; zA)
và B(xB; yB ; zB). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của
vecto . Do đó, ta có:
.
c) Góc giữa hai vecto.
Nếu là góc góc giữa hai vecto và với thì
Từ đó, suy ra
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).
a) Tính AB; AC
b) Tính cosin của góc A.
Lời giải:
a) Ta có:
b) Ta có:
Cosin của góc A là:
1.4. Phương trình mặt cầu
- Định lí.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:
( x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2
- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 – r2
Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính .
Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:
a) x2 + y2 + z2 – 4x + 2y - 1 = 0;
b) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 2z + 2 = 0
Lời giải:
a) Ta có: a = 2; b = -1; c = 0; d = -1
Tâm mặt cầu là I(2; -1; 0) và bán kính